Diğer polinomların çarpımı olarak bir polinom yazarak, ifadeyi genellikle basitleştirebiliriz.

 Kanıttaki ortak faktör

Polinomun tüm terimlerinde tekrar eden bir faktör olduğunda bu tür çarpanlara ayırmayı kullanırız.

Rakam ve harf içerebilen bu faktör parantezlerin önüne yerleştirilecektir.

Parantez içinde, polinomdaki her terimin ortak faktöre bölünmesinin sonucu olacaktır.

Pratikte aşağıdaki adımları uygulayacağız:

1.) Polinomun tüm katsayılarını ve tüm terimlerde tekrarlanan harfleri bölen bir sayı olup olmadığını belirleyin.
2) Ortak faktörleri (sayı ve harfler) parantezlerin önüne (kanıt olarak) yerleştirin.
3.) Polinomun her bir faktörünün kanıtta olan faktöre bölünmesinin sonucunu parantez içine koyun. Mektuplar söz konusu olduğunda, aynı güç bölümü kuralını kullanırız.

Örnekler

a) 12x + 6y - 9z polinomunun çarpanlarına ayrılmış formu nedir?

İlk olarak, numaranın 3 tüm katsayıları bölün ve tekrarlanan harf olmadığını.

3 sayısını parantezlerin önüne koyarız, tüm terimleri üçe böleriz ve sonucu parantez içine yerleştiririz:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

b) Faktör 2a2b + 3a3CA4 4.

2, 3 ve 1'i aynı anda bölen bir sayı olmadığından parantezlerin önüne herhangi bir sayı koymayacağız.

Mektup un her bakımdan tekrar edilir. Ortak faktör olacak un2, en küçük üssü olan un İfadede.

Her polinom terimi şuna böleriz: un2:

2a2 b: bir2 = 2a2 - 2 b = 2b

3ro3CA2 = 3a3 - 2 c = 3ac

un4 4 :2 = a2

Koyduk un2 parantezlerden ve sonuçlarından önce bölümler parantez içinde:

2a2b + 3a3CA4 4 = a2 (2b + 3ac - bir2)

Grup

Tüm terimlerde tekrar eden bir faktör olmayan polinomda, gruplandırmayı çarpanlara ayırmayı kullanabiliriz.

Bunun için ortak faktörlere göre gruplandırılabilecek terimleri belirlemeliyiz.

Bu tür faktoringde, grupların ortak faktörlerini vurguluyoruz.

örnek

Polinom mx + 3nx + my + 3ny'yi çarpanlara ayırın

Şartlar mx y 3nx ortak bir faktör olarak x. Şartlar mi y 3ny ortak bir faktör olarak var y.

Bu faktörleri kanıtlara koymak:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

(M + 3n) değerinin artık her iki terimle de tekrarlandığına dikkat edin.

Kanıta geri koyarsak, polinomun çarpanlarına ayrılmış halini buluruz:

mx + 3nx + benim + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Mükemmel kare üç terimli

Trinomialler, 3 terimli polinomlardır.

İçin mükemmel kare üç terimli2 + 2ab + b2 y el2 - 2ab + b2 (a + b) türünde dikkat çekici ürünün sonucu2 ve (a - b)2.

Bu nedenle, tam kare üç terimlinin çarpanlara ayrılması şöyle olacaktır:

un2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (iki terimin toplamının karesi)

un2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (iki terimin farkının karesi)

Üç terimli bir değerin gerçekten tam kare olup olmadığını öğrenmek için aşağıdakileri yaparız:

1.) Karede görünen terimlerin karekökünü hesaplayın.
2) Bulunan değerleri 2 ile çarpın.
3) Bulunan değeri karesi olmayan terimle karşılaştırın. Eğer aynıysa, tam bir karedir.

Örnekler

a) x polinomunu çarpanlara ayırın2 + 6x + 9

İlk önce, polinomun tam kare olup olmadığını test etmeliyiz.

√x2 = xy √9 = 3

2 ile çarparak şunu buluruz: 2. 3) x = 6x

Bulunan değer kare olmayan terime eşit olduğundan, polinom bir tam karedir.

Bu nedenle, çarpanlara ayırma şöyle olacaktır:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

b) x polinomunu çarpanlara ayırın2 - 8xy + 9y2

Mükemmel kare üç terimli test:

√x2 = xy √9y2 = 3y

Çarpın: 2. x. 3y = 6xy

Bulunan değer polinom terimiyle (8xy ≠ 6xy) eşleşmiyor.

Tam bir kare üç terimli olmadığından, bu tür çarpanlara ayırmayı kullanamayız.

İki karenin farkı

A tipi polinomları çarpanlarına ayırmak için2 - b2 Fark için toplamın dikkat çekici ürününü kullanıyoruz.

Bu nedenle, bu tür polinomların çarpanlara ayrılması şöyle olacaktır:

un2 - b2 = (a + b). (a - b)

Çarpanlara ayırmak için iki terimin karekökünü almalıyız.

Daha sonra bulunan değerlerin toplamının çarpımını ve bu değerlerin farkını yazın.

örnek

Binom 9x çarpanına ayırın2 - 25.

Önce, terimlerin karekökünü bulun:

√9x2 = 3x ve √25 = 5

Bu değerleri toplamın ve farkın çarpımı olarak yazın:

9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)

Mükemmel küp

Polinomlar a3 + 3a2b + 3ab2 + B3 y el3 - 3 üncü2b + 3ab2 - b3 (a + b) türünde dikkat çekici ürünün sonucu3 veya (a - b)3.

Bu nedenle, mükemmel küpün çarpanlarına ayrılmış formu:

un3 + 3a2b + 3ab2 + B3 = (a + b)3

un3 - 3 üncü2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Bu tür polinomları çarpanlarına ayırmak için küplü terimlerin küp kökünü almalıyız.

Öyleyse, polinomun mükemmel bir küp olduğunu onaylamanız gerekir.

Eğer öyleyse, küpte bulunan küp köklerinin değerlerini toplar veya çıkarırız.

Örnekler

a) x polinomunu çarpanlara ayırın3 + 6x2 + 12x + 8

Öncelikle terimlerin küp kökünü küp olarak hesaplayalım:

3√ x3 = xe 3√ 8 = 2

Ardından bunun mükemmel bir küp olduğunu onaylayın:

3 kere2 . 2 = 6x2

3) x. iki2 = 12x

Bulunan terimler polinom terimleriyle aynı olduğu için mükemmel bir küptür.

Bu nedenle, çarpanlara ayırma şöyle olacaktır:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

b) Polinomu çarpanlara ayırın3 - dokuzuncu2 + 27a - 27

Önce küp cinsinden terimlerin küp kökünü hesaplayalım:

3√ bir3 = ae 3√ - 27 = - 3

Bulunan terimler polinom terimleriyle aynı olduğu için mükemmel bir küptür.

Bu nedenle, çarpanlara ayırma şöyle olacaktır:

un3 - dokuzuncu2 + 27a - 27 = (bir - 3)3

Çözülmüş egzersizler

Aşağıdaki polinomları çarpanlara ayırın:

a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 - a2
e) 9a2 + 12a + 4