Karmaşık sayılar gerçek ve hayali bir bölümden oluşan sayılar.

Elemanları gerçek sayılar kümesine (R) ait olan tüm sıralı çiftlerin (x, y) kümesini temsil ederler.

Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir C ve işlemlerle tanımlanır:

  • Eşitlik: (a, b) = (c, d) ↔ a = c ve b = d
  • Ayrıca: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
  • Çarpma işlemi: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Hayali birim (i)

Harf ile gösterilir yohayali birim, sıralı çifttir (0, 1). Logo:

ben mi. i = -1 ↔ i2 = –1

Böylece, yo -1'in kareköküdür.

Z'nin cebirsel formu

Z'nin cebirsel biçimi, aşağıdaki formülü kullanarak karmaşık bir sayıyı temsil etmek için kullanılır:

Z = x + y ben

Nerede:

  • x x = Re (Z) ile gösterilen gerçek bir sayıdır. Z'nin gerçek kısmı.
  • y y = Im (Z) ile gösterilen gerçek bir sayıdır. Z'nin hayali kısmı.

Karmaşık bir sayıyı eşle

Karmaşık bir sayının eşleniği şu şekilde gösterilir: z, tarafından tanımlandı z = a - bi. Bu nedenle, hayali kısmının işareti değiştirilir.

Yani z = a + bi ise, z = a - bi

Karmaşık bir sayıyı eşleniğiyle çarptığımızda, sonuç gerçek bir sayı olacaktır.

Karmaşık sayılar arasında eşitlik

İki karmaşık sayı Z'dir1 = (a, b) ve Z2 = (c, d), a = c ve b = d olduğunda eşittir. Bunun nedeni, aynı gerçek ve hayali parçalara sahip olmalarıdır. Yani:

a + bi = c + di zaman a = cyb = d

Karışık sayılar

Karmaşık sayı işlemleri

Karmaşık sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini gerçekleştirmek mümkündür. Aşağıdaki tanımlara ve örneklere bakın:

Ayrıca

Z1 + Z2 = (a + c, b + d)

Cebirsel formda elimizde:

(bir + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

örnek:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2-4) + ben (3 + 5)
–2 + 8i

Resta

Z1 - Z2 = (a - c, b - d)

Cebirsel formda elimizde:

(bir + bi) - (c + di) = (a - c) + ben (b - d)

örnek:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4-2) + i (–5 –1)
2 - 6i

Çarpma işlemi

(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Cebirsel biçimde, kullanıyoruz dağıtım özelliği:

(a+bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (i2 = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)

örnek:

(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i2
8 - 14i + 15
23 - 14i

bölme

Z1/Z2 = Z3
Z1 = Z2 . ile3

Yukarıdaki eşitlikte, eğer Z3 = x + yi, elimizde:

Z1 = Z2 . ile3

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

Bilinmeyenler sistemiyle x ve y elimizde:

cx - dy = a
dx + cy = b

O zaman

x = ac + bd / c2 + gün2
y = bc - ad / c2 + gün2

örnek:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
–2i + 5i2/ -BEN2
5 - 2i

Daha fazlasını öğrenmek için ayrıca bakınız

Geri bildirim ile vestibüler egzersizler

1. (UF-TO) Düşünün yo Karmaşık sayıların hayali birimi. İfadenin değeri (i + 1)8 Öyle:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

2. (UEL-PR) iz - 2w (1 + i) = 0 denklemini doğrulayan karmaşık sayı zw z) konjugatının:

a) z = 1 + ben
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) z = cos π / 6 + i sin π / 6 karmaşık sayısını düşünün. Z'nin değeri3 + Z6 6 + Z12 Öyle:

a) - ben
b) ½ + √3 / 2i
c) i - 2
verdi
e) 2i

Sınıf videosu

Karmaşık sayılar hakkındaki anlayışınızı genişletmek için videoyu izleyin «Karmaşık sayılara giriş»

Karmaşık sayıların tarihi.

Karmaşık sayıların keşfi, matematikçi Girolamo Cardano'nun (1501-1576) katkıları sayesinde XNUMX. yüzyılda yapıldı.

Ancak, 1777. yüzyıla kadar bu çalışmalar matematikçi Carl Friedrich Gauss (1855-XNUMX) tarafından resmileştirilmedi.

Bu matematikte önemli bir ilerlemeydi, çünkü negatif bir sayının karekökü olduğu için karmaşık sayıların keşfedilmesi bile imkansız kabul edildi.