Инверзна матрица или инвертибилна матрица је врста квадратна матрица, односно има исти број редова (м) и колона (н).

Појављује се када производ две матрице резултира а матрица идентитета истог реда (исти број редова и колона).

Због тога се за проналажење инверзне матрице користи множење.

А. Б = Б. А = Иn (када је матрица Б инверзна матрици А)

Али шта је матрица идентитета?

Матрица идентитета се дефинише када су сви главни дијагонални елементи једнаки 1, а остали елементи 0 (нула). На то указује Иn:

Инверзна својства матрице

  • За сваку матрицу постоји само један инверзни
  • Немају све матрице инверзну матрицу. Обратљив је само када производи квадратних матрица резултирају идентитетском матрицом (Иn)
  • Инверзна матрица инверзне одговара самој матрици: А = (А-1)-1
  • Матрица транспоновања инверзне матрице је такође инверзна: (Аt) -1 = (А.-1)t
  • Инверзна матрица транспоноване матрице одговара инверзној транспозицији: (А-1 Unт) -1
  • Инверзна матрица идентитетске матрице је иста као и матрица идентитета: И-1 = И

види такође: Низови

Примери инверзне матрице

2 × 2 инверзна матрица

3 × 3 инверзна матрица

Корак по корак: како израчунати инверзну матрицу?

Знамо да ако је производ две матрице једнак матрици идентитета, та матрица има обрнуту вредност.

Имајте на уму да ако је матрица А инверзна матрици Б, ознака: А-1.

пример: Наћи инверзу матрице под редом 3 × 3.

Пре свега, тога се морамо сетити. А.-1 = И (Матрица помножена са њеном инверзном резултираће матрицом идентитета Иn)

Сваки елемент у првом реду прве матрице множи се са сваком колоном друге матрице.

Због тога се елементи другог реда прве матрице множе колонама друге.

И на крају, трећи ред првог са колонама другог:

Еквиваленцијом елемената са матрицом идентитета можемо открити вредности:

а = КСНУМКС
б = 0
ц = 0

инверзна својства матрице

Познавајући ове вредности, можемо израчунати остале непознанице у матрици. У трећем реду и првој колони прве матрице имамо + 2д = 0. Дакле, почнимо са проналажењем вредности d, заменом пронађених вредности:

1 + 2д = 0
2д = -1
д = -1/2

Слично томе, у трећем реду и другој колони можемо пронаћи вредност y:

б + 2е = 0
0 + 2е = 0
2е = 0
е = 0/2
е = 0

Крећући даље, имамо у трећем реду треће колоне: ц + 2ф. Имајте на уму да, друго, матрица идентитета ове једначине није једнака нули, већ једнака 1.

ц + 2ф = 1
0 + 2ф = 1
2ф = 1
ф = ½

Идући до другог реда и прве колоне, наћи ћемо вредност g:

а + 3д + г = 0
1 + 3. (-1/2) + г = 0
1 - 3/2 + г = 0
г = -1 + 3/2
г = ½

У другом реду и другој колони можемо пронаћи вредност h:

б + 3е + х = 1
0 + 3. 0 + х = 1
х = 1

На крају, пронађимо вредност yo једначином другог реда и треће колоне:

ц + 3ф + и = 0
0 + 3 (1/2) + и = 0
3/2 + и = 0
и = 3/2

 

Вестибуларне вежбе са повратним информацијама

1. (Цефет-МГ) Матрица је обрнута од
Тачно се може рећи да је разлика (ки) једнака:

а) -8
б) -2
ц) КСНУМКС
д) КСНУМКС
е) 8

2. (УФ Вицоса-МГ) Матрице су:

Где су к и и реални бројеви, а М инверзна матрица од А. Стога је умножак ки:

а) 3/2
б) 2/3
в) 1/2
д) 3/4
д) 1/4

3. (ПУЦ-МГ) Инверзна матрица матрице једнака је:

a)
b)
c)
d)
e)