Пишући полином као множење осталих полинома, често можемо поједноставити израз.

 Заједнички фактор у доказима

Ову врсту факторизације користимо када постоји фактор који се понавља у свим терминима полинома.

Овај фактор, који може садржати бројеве и слова, ставља се испред заграда.

Унутар заграда ће се добити резултат дељења сваког члана полинома заједничким фактором.

У пракси ћемо урадити следеће кораке:

1.) Утврдите постоји ли број који дели све коефицијенте полинома и слова која се понављају у свим појмовима.
2) Ставите уобичајене факторе (број и слова) испред заграда (у доказу).
3.) Ставите у заграде резултат дељења сваког фактора полинома са фактором који је у евиденцији. У случају писама користимо исто правило поделе власти.

Примери

а) Који је факторски облик полинома 12к + 6и - 9з?

Прво, идентификујемо тај број 3 поделити све коефицијенте и да нема поновљеног слова.

Број 3 стављамо испред заграда, све појмове делимо са три и резултат ћемо сместити у заграде:

12к + 6и - 9з = 3 (4к + 2и - 3з)

б) Фактор 2а2б + 3а3ц - а4 4.

Будући да не постоји број који истовремено дели 2, 3 и 1, нећемо ставити ниједан број испред заграда.

Писмо un понавља се у свим терминима. Заједнички фактор ће бити un2, што је најмањи експонент од un У изразу.

Сваки полиномни члан делимо са un2:

2a2 б: а2 = КСНУМКСаКСНУМКС - КСНУМКС б = 2б

КСНУМКСро3ц: а2 = КСНУМКСаКСНУМКС - КСНУМКС ц = 3ац

un4 4 :2 = а2

Ставили смо un2 пре заграда и резултата дивизије у загради:

2a2б + 3а3ц - а4 4 = а2 (2б + 3ац - а2)

Група

У полиному да не постоји фактор понављања у свим појмовима, можемо користити факторизацију груписања.

За то морамо идентификовати појмове који се могу груписати по заједничким факторима.

У овој врсти факторинга истичемо заједничке факторе група.

пример

Множимо полином мк + 3нк + ми + 3ни

Услови mx y 3нк има као заједнички фактор x. Услови mi y 3ни имају као заједнички фактор y.

Доказивање ових фактора:

к (м + 3н) + и (м + 3н)

Имајте на уму да се (м + 3н) сада понавља у оба термина.

Враћајући га у доказ, проналазимо факторски облик полинома:

мк + 3нк + ми + 3ни = (м + 3н) (к + и)

Савршен квадратни трином

Триноми су полиноми са 3 члана.

Савршени квадратни триноми за2 + 2аб + б2 и2 - 2аб + б2 резултат изванредног производа типа (а + б)2 и (а - б)2.

Стога ће факторизација савршеног квадратног тринома бити:

un2 + 2аб + б2 = (а + б)2 (квадрат збира два члана)

un2 - 2аб + б2 = (а - б)2 (квадрат разлике два члана)

Да бисмо сазнали да ли је трином заиста савршен квадрат, радимо следеће:

1.) Израчунај квадратни корен појмова који се појављују у квадрату.
2) Пронађене вредности помножите са 2.
3) Упоредите пронађену вредност са појмом који нема квадрата. Ако су исти, то је савршен квадрат.

Примери

а) На фактор полинома к2 + 6к + 9

Прво морамо да тестирамо да ли је полином савршен квадрат.

Кс2 = ки √9 = 3

Помноживши са 2, налазимо: 2. 3) к = 6к

С обзиром да је пронађена вредност једнака не-квадратном члану, полином је савршен квадрат.

Стога ће факторизација бити:

x2 + 6к + 9 = (к + 3)2

б) На фактор полинома к2 - 8ки + 9и2

Савршен квадратни триномски тест:

Кс2 = ки √9и2 = 3и

Помножите: 2. х. 3и = 6ки

Пронађена вредност не одговара полиномном члану (8ки = 6ки).

Будући да није савршени квадратни трином, не можемо се користити овом врстом факторизације.

Разлика два квадрата

Да факторишемо полиноме типа а2 - б2 За разлику користимо изузетан производ зброја.

Стога ће факторизација полинома овог типа бити:

un2 - б2 = (а + б). (а - б)

Да факторирамо, морамо узети квадратни корен два члана.

Затим напиши умножак збира пронађених вредности и разлике тих вредности.

пример

Фактор бинома 9к2 - КСНУМКС.

Прво пронађите квадратни корен израза:

√9к2 = 3к и √25 = 5

Напиши ове вредности као умножак збира и разлике:

9x2 - 25 = (3к + 5). (3к - 5)

Савршена коцка

Полиноми а3 + 3а2б + 3аб2 + б3 и3 - 3.2б + 3аб2 - б3 резултат изванредног производа типа (а + б)3 или (а - б)3.

Стога је факторски облик савршене коцке:

un3 + 3а2б + 3аб2 + б3 = (а + б)3

un3 - 3.2б + 3аб2 - б3 = (а - б)3

Да бисмо разложили такве полиноме, морамо узети корен корена појмова у коцкама.

Дакле, морате потврдити да је полином савршена коцка.

Ако је тако, додајемо или одузимамо вредности корена коцке пронађене у коцки.

Примери

а) На фактор полинома к3 + 6к2 + 12к + 8

Прво израчунајмо корен коцке појмова у коцкама:

3√ к3 = ке 3√ 8 = 2

Затим потврдите да је то савршена коцка:

3) к2 . 2 = 6к2

3) к. 22 = 12к

Будући да су пронађени појмови исти као и полиноми, то је савршена коцка.

Стога ће факторизација бити:

x3 + 6к2 + 12к + 8 = (к + 2)3

б) На фактор полинома а3 - девети2 + 27а - 27

Прво израчунајмо корен коцке појмова у коцкама:

3√ а3 = ае 3√ - 27 = - 3

Будући да су пронађени појмови исти као и полиноми, то је савршена коцка.

Стога ће факторизација бити:

un3 - девети2 + 27а - 27 = (а - 3)3

Решене вежбе

Уважите на фактор следеће полиноме:

а) 33к + 22г - 55з
б) 6нк - 6ни
в) 4к - 8ц + мк - 2мц
г) 49 - а2
е) 9а2 + 12а + 4