Si ya estás comenzando a recibir ejercicios de la propiedad conmutativa, y no sabes qué es y cómo se aplica. Entonces has llegado al artículo correcto, porque aquí te explicaremos todo lo que debes saber para que aprendas de manera sencilla a realizar estas operaciones matemáticas. ¡Será divertido!

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Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa es una operación matemática en la cual se trata de hallar la igualdad en el resultado mediante la combinación de sus elementos, demostrando que sin importar el orden en que estos se encuentren, el producto final será el mismo.

La propiedad conmutativa en la suma

En estas operaciones los sumandos, aunque varíen su orden, nos darán el mismo resultado. Vamos a realizar un ejercicio como ejemplo:

a) 6 + 5 = 5 + 6

11 = 11.

Podemos observar que cuando cambiamos el orden de los factores, obtuvimos el mismo resultado. Entonces se establece lo siguiente:

A + B = C   y  B + A = C.

Propiedad conmutativa: ejemplos

Usemos otros ejemplos para entenderlo mejor:

b) Maria tiene una caja con 12 colores y se encontró con Juana quien tiene 10 colores más. Juana colocó sus colores en la caja de Maria. ¿Cuántos colores hay en total en la caja?

Procedemos a ordenar los datos del problema, de la siguiente manera:

Colocamos de primero los 12 colores de Maria y luego los 10 colores de Juana.

b) 12 + 10 =?

Si sumamos ambos números, el resultado será: 22.

Y ¿Qué sucede si alteramos el orden que tienen y lo colocamos así:

b) 10 + 12 = ?

Sumando ambos números, el resultado también será 22.

Es muy fácil, ¿Verdad?

Podemos seguir colocando más ejemplos:

c) Pedro tiene 50 globos de colores y Luis tiene 30. ¿Cuántos globos tienen en total Pedro y Luis?

Colocamos los 50 globos de Pedro de primero y luego los 30 globos de Luis, de la siguiente manera:

50 + 30 = 80

Si sumamos ambos números obtenemos: 80 como resultado.

Y si los cambiamos de orden:

30 + 50 = 80.

Tenemos el mismo producto final que la operación anterior.

Entonces podemos establecer que, si cambiamos el orden de los sumandos llegamos al mismo resultado. Observa todos estos ejercicios:

d) 35 + 45 = 45 + 35           e) 25 + 17 = 17 + 25             f) 22 + 51 = 51 + 22

80 = 80.                                  42 = 42                                73 = 73

Es muy sencillo y divertido.

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La propiedad conmutativa en la multiplicación

De igual manera, podemos realizar operaciones con la propiedad conmutativa de la multiplicación de elementos. Coloquemos el siguiente ejemplo:

a) 5 x 3 = 3 x 5

15 = 15.

Podemos observar que cuando cambiamos el orden de los factores en la multiplicación, obtenemos el mismo resultado en ambos lados. Entonces, podemos establecer lo siguiente:

A x B = C   y   B x A = C.

Propiedad conmutativa: ejemplos

Vamos a colocar otro ejemplo para comprender mejor este procedimiento:

b) Monica tiene una tienda de helados y le han pedido para 2 helados de chocolate para 4 mesas. ¿Cuántos helados en total debe hacer Monica?

Procedemos a ordenar los datos del problema, de la siguiente manera:

Primero los 2 helados de chocolate y luego las 4 mesas, así:

b)  2 x  4 = ?

Si multiplicamos el 2 por el 4, obtenemos como resultado el número: 8.

2 x 4 = 8.

¿Qué sucede si cambiamos el orden ahora, y escribimos:

4 mesas y 2 helados de chocolate.

4 x 2 = ?

Cuando multipliquemos ambos números, el resultado que obtenemos será el mismo: 8.

4 x 2 = 8.

Entonces podemos decir que, Monica debe preparar 8 helados en total para repartir en 4 mesas.

¡Buen trabajo!.

Usemos más ejemplos:

c) En la casa de José viven 6 personas y debe preparar la cena, tiene que hacer 2 hot dogs para cada miembro de su familia. ¿Cuántos hot dogs debe preparar José?

Comencemos por ordenar los elementos del problema de la siguiente manera:

Escribimos primero 6 personas y luego 2 hot dogs, así:

c) 6 x 2 = ?

Debemos multiplicar y el resultado será: 12.

y ¿Si alteramos los factores?, los vamos a escribir así:

Los 2 hot dogs y las 6 personas.

2 x 6 = ?

Multiplicamos ahora y obtenemos: 12.

2 x 6 = 12.

Concluimos diciendo que, José debe preparar 12 hot dogs en su casa para cada miembro de su familia. ¡Muy bien!.

Observemos estos ejercicios a continuación:

d) 8 x 6 = 6 x 8              e) 12 x 5 = 5 x 12                f) 15 x 2 = 2 x 15

48 = 48.                             60 = 60.                              30 = 30.

Es bastante sencillo realizar ejercicios de la propiedad conmutativa, solo debes practicar bastante para que los hagas como un juego.

¿Para qué sirve?

La propiedad conmutativa y asociativa son similares, pero se diferencian en la cantidad de números que utiliza para realizar sus operaciones.

Ya que, la conmutativa usa dos números y los intercambia de posición, mientras que la asociativa usa tres o más números y los cambia de orden. En ambas propiedades el objetivo es encontrar la igualdad contenida en los números, obteniendo como producto final la misma cifra, sin importar el orden de los factores.

Es bastante común preguntarse ¿Para qué sirven estas propiedades?. Bueno, a parte de ser operaciones divertidas de realizar, se pueden emplear en la vida cotidiana facilitándonos resultados en pocos segundos, sin necesidad de recurrir a extensos ejercicios que pueden durar mucho más tiempo.

Si deseas aprender también a sumar más de dos números y, quieres hacer sencillo tu conocimiento sobre la propiedad conmutativa y asociativa, entonces te invito a leer este interesante artículo: Aprender a sumar más de dos números.

La resta y la división

Es importante destacar que en la propiedad conmutativa siempre se establece que “el orden de los factores NO altera el producto”. Es un principio que siempre debe tenerse en cuenta, porque si intentamos aplicar esta propiedad en operaciones como la resta y la división no hallaremos la igualdad.

Es decir, si cambiamos el orden de los elementos de la operación que realicemos (resta o división), el resultado no va a ser el mismo, por lo tanto, la propiedad no puede ser aplicada ya que no habrá igualdad en el producto final.

Resta: A – B = C  ≠ B – A = D.

División: A ÷ B = C  ≠ B ÷ A = D.

Un poco de historia

El gran matemático y geómetra griego Euclides; hablaba en su obra “Elementos” sobre la propiedad conmutativa. Estamos hablando de aproximadamente 3 siglos antes de Cristo.

Pero, ya en el antiguo Egipto también se tenían conocimientos sobre la propiedad conmutativa y se empleaba para obtener resultados rápidos y efectivos para calcular los productos que comercializaban en esos tiempos. ¡Increíble!

Aunque se empleaba desde tiempos ancestrales, debemos mencionar que no se usó formalmente hasta que llegó un sacerdote y matemático francés llamado Francois Servois; quien escribió en 1814, sobre el calculo diferencial haciendo uso de estos términos por primera vez. ¡Interesante!.