Polinomios: definición, operaciones y factoring

Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por números (coeficientes) y letras (partes literales). Las letras de un polinomio representan los valores desconocidos de la expresión.

Ejemplos

a) 3ab + 5
b) x³ + 4xy – 2x²y³
c) 25x² – 9 años²

Monomial, Binomial y Trinomial.

Los polinomios están formados por términos. La única operación entre los elementos de un término es la multiplicación.

Cuando un polinomio tiene solo un término, se llama monomial.

Ejemplos

a) 3x
b) 5abc
c) x²y³z^{4 4}

El llamado binomios son polinomios que tienen solo dos monomios (dos términos), separados por una operación de suma o resta.

Ejemplos

a) el² – b²
b) 3x + y
c) 5ab + 3cd²

El trinomios son polinomios que tienen tres monomios (tres términos), separados por operaciones de suma o resta.

Ejemplos

a) x² + 3x + 7
b) 3ab – 4xy – 10 años
c) m³n + m² + n^{4 4}

Grado de polinomios

El grado de un polinomio viene dado por los exponentes de la parte literal.

Para encontrar el grado de un polinomio, debemos sumar los exponentes de las letras que componen cada término. La suma más grande será el grado del polinomio.

Ejemplos

a) 2x³ + y

El exponente del primer término es 3 y el segundo término es 1. Como el mayor es 3, el grado del polinomio es 3.

b) 4 x²y + 8x³y³ – xy^{4 4}

Agreguemos los exponentes de cada término:

4x²y => 2 + 1 = 3
8x³y³ => 3 + 3 = 6
xy^{4 4} => 1 + 4 = 5

Como la suma más grande es 6, el grado del polinomio es 6

Nota: el polinomio nulo es uno que tiene todos los coeficientes iguales a cero. Cuando esto ocurre, el grado del polinomio no está definido.

Operaciones polinomiales

A continuación se muestran ejemplos de operaciones entre polinomios:

Agregar polinomios

Hacemos esto agregando los coeficientes de términos similares (misma parte literal).

(- 7x³ + 5 x²y – xy + 4y) + (- 2x²y + 8xy – 7y)
– 7x³ + 5x²y – 2x²y – xy + 8xy + 4y – 7y
– 7x³ + 3x²y + 7xy – 3y

Sustracción polinómica

El signo menos delante de los paréntesis invierte los signos dentro de los paréntesis. Después de eliminar los paréntesis, debemos agregar términos similares.

(4x² – 5xk + 6k) – (3x – 8k)
4x² – 5xk + 6k – 3xk + 8k
4x² – 8xk + 14k

Multiplicar polinomios

En la multiplicación debemos multiplicar término por término. En la multiplicación de letras iguales, los exponentes se repiten y se suman.

(3x² – 5x + 8). (-2x + 1)
-6x³ + 3x² + 10x² – 5x – 16x + 8
-6x³ + 13x² – 21x +8

División de polinomios

Nota: En la división de polinomios usamos el método clave. Primero, dividimos los coeficientes numéricos y luego dividimos los poderes de la misma base. Para esto, la base se conserva y resta los exponentes.

Factorización polinómica

Para realizar la factorización de polinomios tenemos los siguientes casos:

Factor común en la evidencia

ax + bx = x (a + b)

Ejemplo

4x + 20 = 4 (x + 5)

Agrupación

ax + bx + ay + por = x. (a + b) + y. (a + b) = (x + y). (a + b)

Ejemplo

8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b). (x + y)

Trinomio cuadrado perfecto (adición)

un² + 2ab + b² = (a + b)²

Ejemplo

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Trinomio cuadrado perfecto (diferencia)

un² – 2ab + b² = (a – b)²

Ejemplo

x² – 2x + 1 = (x – 1)²

Diferencia de dos cuadrados

(a + b). (a – b) = a² – b²

Ejemplo

x² – 25 = (x + 5). (x – 5)

Cubo perfecto (adición)

un³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

Ejemplo

x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ + 3. x² . 2 + 3. x. 2² + 2³ = (x + 2)³

Cubo Perfecto (Diferencia)

un³ – 3er²b + 3ab² – b³ = (a – b)³

Ejercicios resueltos

1) Clasifique los siguientes polinomios en monomios, binomios y trinomios:

a) 3abcd²
b) 3a + bc – d²
c) 3ab – cd²

2) Indicar el grado de los polinomios:

a) xy³ + 8xy + x²y
b) 2x^{4 4} + 3
c) ab + 2b + a
d) zk^{7 7} – 10z²k³w^{6 6} + 2x

3) ¿Cuál es el valor del perímetro de la figura a continuación?

4) Encuentra el área de la figura:

5) Factorizar los polinomios

a) 8ab + 2a²b – 4ab²
b) 25 + 10y + y²
c) 9 – k²