Los números complejos son números compuestos de una parte real y otra imaginaria.
Representan el conjunto de todos los pares ordenados (x, y), cuyos elementos pertenecen al conjunto de números reales (R).
El conjunto de números complejos se indica mediante C y definido por operaciones:
- La igualdad: (a, b) = (c, d) ↔ a = c y b = d
- Además: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
- Multiplicación: (a, b). (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Unidad imaginaria (i)
Indicado por la letra yo, la unidad imaginaria es el par ordenado (0, 1). Logotipo:
yo. i = –1 ↔ i2 = –1
Así, yo es la raíz cuadrada de –1.
Forma algebraica de Z
La forma algebraica de Z se usa para representar un número complejo usando la fórmula:
Z = x + yi
Donde:
- x es un número real indicado por x = Re (Z), que se llama parte real de Z.
- y es un número real indicado por y = Im (Z), que se llama parte imaginaria de Z.
Conjugar un número complejo
El conjugado de un número complejo se indica mediante z, definido por z = a – bi. Por lo tanto, se intercambia el signo de su parte imaginaria.
Entonces, si z = a + bi, entonces z = a – bi
Cuando multiplicamos un número complejo por su conjugado, el resultado será un número real.
Igualdad entre números complejos
Dos números complejos son Z1 = (a, b) y Z2 = (c, d), son iguales cuando a = c y b = d. Eso es porque tienen partes idénticas reales e imaginarias. Así:
a + bi = c + di cuando a = c y b = d
Operaciones de números complejos
Con números complejos es posible realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Consulte las definiciones y ejemplos a continuación:
Además
Z1 + Z2 = (a + c, b + d)
En forma algebraica, tenemos:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)
Ejemplo:
(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2-4) + i (3 + 5)
–2 + 8i
Resta
Z1 – Z2 = (a – c, b – d)
En forma algebraica, tenemos:
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + i (b – d)
Ejemplo:
(4 – 5i) – (2 + i)
(4 – 2) + i (–5 –1)
2 – 6i
Multiplicación
(a, b) (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
En forma algebraica, usamos la propiedad distributiva:
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (i2 = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci – bd
(a + bi). (c + di) = (ac – bd) + i (ad + bc)
Ejemplo:
(4 + 3i). (2 – 5i)
8 – 20i + 6i – 15i2
8 – 14i + 15
23 – 14i
División
Z1/ Z2 = Z3
Z1 = Z2 . Z3
En la igualdad anterior, si Z3 = x + yi, tenemos:
Z1 = Z2 . Z3
a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx – dy) + i (cy + dx)
Por el sistema de incógnitas x e y tenemos:
cx – dy = a
dx + cy = b
Entonces
x = ac + bd / c2 + d2
y = bc – ad / c2 + d2
Ejemplo:
2 – 5i / i
2 – 5i /. (- i) / (- i)
–2i + 5i2/ –I2
5 – 2i
Para saber más, vea también
Ejercicios vestibulares con feedback
1. (UF-TO) Considerar yo La unidad imaginaria de números complejos. El valor de la expresión (i + 1)8 es:
a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i
2. (UEL-PR) El número complejo z que verifica la ecuación iz – 2w (1 + i) = 0 (w indica que el conjugado de z) es:
a) z = 1 + i
b) z = (1/3) – i
c) z = (1 – i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 – i
3. (Vunesp-SP) Considere el número complejo z = cos π / 6 + i sen π / 6. El valor de Z3 + Z6 6 + Z12 es:
a) – i
b) ½ + √3 / 2i
c) i – 2
d) i
e) 2i
Video aula
Para ampliar su conocimiento de los números complejos, mire el video “Introducción a los números complejos”
Historia de números complejos.
El descubrimiento de números complejos se realizó en el siglo XVI gracias a las contribuciones del matemático Girolamo Cardano (1501-1576).
Sin embargo, recién en el siglo XVIII estos estudios fueron formalizados por el matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Este fue un avance importante en las matemáticas, ya que un número negativo tiene una raíz cuadrada, que incluso el descubrimiento de números complejos se consideró imposible.