Números complejos: definición, operaciones y ejercicios.

Los números complejos son números compuestos de una parte real y otra imaginaria.

Representan el conjunto de todos los pares ordenados (x, y), cuyos elementos pertenecen al conjunto de números reales (R).

El conjunto de números complejos se indica mediante C y definido por operaciones:

• La igualdad: (a, b) = (c, d) ↔ a = c y b = d
• Además: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
• Multiplicación: (a, b). (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

Unidad imaginaria (i)

Indicado por la letra yo, la unidad imaginaria es el par ordenado (0, 1). Logotipo:

yo. i = –1 ↔ i² = –1

Así, yo es la raíz cuadrada de –1.

Forma algebraica de Z

La forma algebraica de Z se usa para representar un número complejo usando la fórmula:

Z = x + yi

Donde:

• x es un número real indicado por x = Re (Z), que se llama parte real de Z.
• y es un número real indicado por y = Im (Z), que se llama parte imaginaria de Z.

Conjugar un número complejo

El conjugado de un número complejo se indica mediante z, definido por z = a – bi. Por lo tanto, se intercambia el signo de su parte imaginaria.

Entonces, si z = a + bi, entonces z = a – bi

Cuando multiplicamos un número complejo por su conjugado, el resultado será un número real.

Igualdad entre números complejos

Dos números complejos son Z₁ = (a, b) y Z₂ = (c, d), son iguales cuando a = c y b = d. Eso es porque tienen partes idénticas reales e imaginarias. Así:

a + bi = c + di cuando a = c y b = d

Operaciones de números complejos

Con números complejos es posible realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Consulte las definiciones y ejemplos a continuación:

Además

Z₁ + Z₂ = (a + c, b + d)

En forma algebraica, tenemos:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Ejemplo:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2-4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Resta

Z₁ – Z₂ = (a – c, b – d)

En forma algebraica, tenemos:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + i (b – d)

Ejemplo:

(4 – 5i) – (2 + i)
(4 – 2) + i (–5 –1)
2 – 6i

Multiplicación

(a, b) (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

En forma algebraica, usamos la propiedad distributiva:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (i² = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci – bd
(a + bi). (c + di) = (ac – bd) + i (ad + bc)

Ejemplo:

(4 + 3i). (2 – 5i)
8 – 20i + 6i – 15i²
8 – 14i + 15
23 – 14i

División

Z₁/ Z₂ = Z₃
Z₁ = Z₂ . Z₃

En la igualdad anterior, si Z₃ = x + yi, tenemos:

Z₁ = Z₂ . Z₃

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx – dy) + i (cy + dx)

Por el sistema de incógnitas x e y tenemos:

cx – dy = a
dx + cy = b

Entonces

x = ac + bd / c² + d²
y = bc – ad / c² + d²

Ejemplo:

2 – 5i / i
2 – 5i /. (- i) / (- i)
–2i + 5i²/ –I²
5 – 2i

Para saber más, vea también

Ejercicios vestibulares con feedback

1. (UF-TO) Considerar yo La unidad imaginaria de números complejos. El valor de la expresión (i + 1)⁸ es:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

2. (UEL-PR) El número complejo z que verifica la ecuación iz – 2w (1 + i) = 0 (w indica que el conjugado de z) es:

a) z = 1 + i
b) z = (1/3) – i
c) z = (1 – i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 – i

3. (Vunesp-SP) Considere el número complejo z = cos π / 6 + i sen π / 6. El valor de Z³ + Z^{6 6} + Z¹² es:

a) – i
b) ½ + √3 / 2i
c) i – 2
d) i
e) 2i

Video aula

Para ampliar su conocimiento de los números complejos, mire el video “Introducción a los números complejos”

Historia de números complejos.

El descubrimiento de números complejos se realizó en el siglo XVI gracias a las contribuciones del matemático Girolamo Cardano (1501-1576).

Sin embargo, recién en el siglo XVIII estos estudios fueron formalizados por el matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Este fue un avance importante en las matemáticas, ya que un número negativo tiene una raíz cuadrada, que incluso el descubrimiento de números complejos se consideró imposible.