Rakstot polinomu kā citu polinomu reizinājumu, mēs bieži varam vienkāršot izteiksmi.

 Pierādījumu kopīgais faktors

Mēs izmantojam šāda veida faktoringu, ja ir faktors, kas atkārtojas visos polinoma izteiksmē.

Šis faktors, kas var saturēt ciparus un burtus, tiks ievietots iekavās.

Iekavu iekšpusē būs rezultāts, sadalot katru polinoma terminu ar kopējo faktoru.

Praksē mēs veiksim šādas darbības:

1. Nosakiet, vai ir skaitlis, kas dala visus polinoma koeficientus un burtus, kas tiek atkārtoti visos terminos.
2) Novietojiet kopējos faktorus (skaitli un burtus) iekavu priekšā (pierādījumos).
3) Vieta iekavās, sadalot katru polinoma koeficientu ar faktoru, kas ir pierādījums. Burtu gadījumā mēs izmantojam to pašu varas dalīšanas likumu.

Piemēri

a) Kāda ir polinoma 12x + 6y - 9z faktora forma?

Pirmkārt, mēs identificējam šo numuru 3 sadaliet visus koeficientus un ka nav atkārtotu burtu.

Mēs ievietojam skaitli 3 iekavu priekšā, mēs sadalām visus nosacījumus ar trim un rezultātu ievietosim iekavās:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

b) 2.a faktors2b + 3a3c - a4 4.

Tā kā nav skaitļa, kas vienlaikus dalītu 2, 3 un 1, iekavās mēs nevienu skaitli neliksim.

Vēstule un tas tiek atkārtots visos terminos. Kopīgais faktors būs un2, kas ir mazākais un Izteiksmē.

Katru polinoma terminu mēs dalām ar un2:

2a2 ba2 = 2a2 - 2 b = 2b

3ro3c: a2 = 3a3 - 2 c = 3ac

un4 4 :2 = a2

Mēs ieliekam un2 pirms iekavām un sadalījumi iekavās:

2a2b + 3a3c - a4 4 = a2 (2b + 3ac - a2)

Grupa

Polinomā, ka visos termiņos nav atkārtojoša faktora, mēs varam izmantot grupēšanas faktorizāciju.

Lai to izdarītu, mums jāidentificē termini, kurus var sagrupēt pēc kopīgiem faktoriem.

Šāda veida faktoringa ietvaros mēs izceļam kopīgos faktoru faktorus.

piemērs

Faktors polinoms mx + 3nx + my + 3ny

Noteikumi mx y 3 nx ir kopīgs faktors x. Noteikumi mi y 3ny ir kopīgs faktors y.

Pierādot šos faktorus:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Ņemiet vērā, ka (m + 3n) tagad atkārtojas arī abos terminos.

Lietojot to atkal pierādījumos, mēs atrodam polinoma faktoru:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Ideāls kvadrātveida trinoms

Trinomi ir polinomi ar 3 terminiem.

Ideāli kvadrātveida trinomi2 + 2ab + b2 un2 - 2ab + b2 ievērojamā (a + b) veida produkta rezultāts2 un (a - b)2.

Tāpēc perfektā kvadrātveida trinomija faktorizācija būs:

un2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (divu terminu summas kvadrāts)

un2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (divu terminu starpības kvadrāts)

Lai uzzinātu, vai trinoms ir patiešām ideāls kvadrāts, mēs rīkojamies šādi:

1. Aprēķiniet kvadrātsakni no termiņiem, kas parādās laukumā.
2) Atrastās vērtības reiziniet ar 2.
3) Salīdziniet atrasto vērtību ar terminu, kuram nav kvadrātu. Ja tie ir vienādi, tas ir ideāls kvadrāts.

Piemēri

a) Faktors polinoms x2 + 6x + 9

Pirmkārt, mums jāpārbauda, ​​vai polinoms ir ideāls kvadrāts.

√x2 = xy √9 = 3

Reizinot ar 2, mēs atrodam: 2. 3) x = 6x

Tā kā atrasta vērtība ir vienāda ar kvadrāta termiņu, polinoms ir ideāls kvadrāts.

Tāpēc faktorizācija būs:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

b) Faktors polinoms x2 - 8xy + 9y2

Ideāls kvadrātveida trīsvienību tests:

√x2 = xy √9y2 = 3 g

Reizināt: 2. x. 3y = 6xy

Atrastā vērtība neatbilst polinoma terminam (8xy ≠ 6xy).

Tā kā tas nav ideāls kvadrātveida trinoms, mēs nevaram izmantot šāda veida faktorizāciju.

Divu kvadrātu atšķirība

Faktorēt a tipa polinomus2 - b2 Mēs izmantojam ievērojamo summas reizinājumu starpībai.

Tāpēc šāda veida polinomu faktorizācija būs:

un2 - b2 = (a + b). (a - b)

Lai ņemtu vērā faktoru, mums jāņem kvadrātsakne no abiem terminiem.

Pēc tam uzrakstiet atrasto vērtību summas un šo vērtību starpības reizinājumu.

piemērs

Faktors binoms 9x2 - 25.

Vispirms atrodiet terminu kvadrātsakni:

√9x2 = 3x un √25 = 5

Uzrakstiet šīs vērtības kā summas un starpības reizinājumu:

9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)

Ideāls kubs

Polinomi a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 un3 - 32b + 3ab2 - b3 ievērojamā (a + b) veida produkta rezultāts3 vai (a - b)3.

Tāpēc ideālā kuba faktora forma ir:

un3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

un3 - 32b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Lai ņemtu vērā šādus polinomus, mums ir jāņem terminu kuba sakne kubiņos.

Tātad, jums jāapstiprina, ka polinoms ir ideāls kubs.

Ja tā, mēs saskaitām vai atņemam kubā atrodamo kuba sakņu vērtības.

Piemēri

a) Faktors polinoms x3 + 6x2 + 12x + 8

Vispirms aprēķināsim terminu kuba sakni kubiņos:

3√ x3 = xe 3√ 8 = 2

Pēc tam apstipriniet, ka tas ir ideāls kubs:

3) x2 . 2 = 6x2

3) x. divi2 = 12x

Tā kā atrasti termini ir tādi paši kā polinoma termini, tas ir ideāls kubs.

Tāpēc faktorizācija būs:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

b) Faktors polinoms a3 - devītais2 + 27a - 27

Vispirms aprēķināsim terminu kuba sakni kubiņos:

3√ a3 = ae 3√ - 27 = - 3

Tā kā atrasti termini ir tādi paši kā polinoma termini, tas ir ideāls kubs.

Tāpēc faktorizācija būs:

un3 - devītais2 + 27a - 27 = (a - 3)3

Atrisināti vingrinājumi

Veiciet šādus polinomus:

a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 - a2
e) 9.a.2 + 12a + 4