Tsev kawm qib siab qib siab ua lej. Cov txheej txheem lej ua qauv sawv cev rau ib qho kev sib txuas ntawm kev txhim kho ntawm yam kev xav thiab yog ua los ntawm cov lej thiab cov tsiaj ntawv.

Paub txog lawv yog qhov tsim nyog los daws ntau yam teeb meem uas tau them nyiaj hauv kev sib tw thiab hauv Enem, feem ntau vim tias nws feem ntau txo lub sijhawm los daws qhov teeb meem.

Txawm li cas los xij, tsuas yog ua kom zoo nkauj ntawm cov qauv tsis txaus kom ua tiav rau lawv daim ntawv thov. Kev paub lub ntsiab lus ntawm txhua qhov ntau thiab nkag siab cov ntsiab lus nyob hauv txhua tus qauv yuav tsum tau siv yog qhov tseem ceeb.

Hauv cov ntawv nyeem no peb sau cov qauv loj uas siv hauv tsev kawm theem nrab, ua pawg los ntawm cov ntsiab lus.

Txheem ntsiab lus

Muaj nuj nqi

Kev ua haujlwm sawv cev ntawm kev sib raug zoo ntawm ob qhov sib txawv, yog li tus nqi muab rau ib ntawm lawv yuav sib haum mus rau qhov muaj nuj nqis ntawm lwm qhov.

Ob qhov hloov pauv tuaj yeem cuam tshuam rau ntau txoj kev sib txawv thiab raws li lawv txoj cai tsim, lawv tau txais cov kev sib txawv.

Cais kom muaj nuj nqi

f (x) = taus + b

a: toj
b: linear coefficient

Kev ua haujlwm Quadratic

f (x) = taus2bx + c , qhov twg ≠ 0

a, b thiab c: qib ob ua haujlwm coefficients

Cov hauv paus ntawm qhov ua haujlwm quadratic

Vertex ntawm parabola.

: Kev cais tawm ntawm cov duab plaub sib npaug ( = B2 - 4.ac)

a, b thiab c: coefficients ntawm quadratic sib npaug

Modular muaj nuj nqi

Exponential muaj nuj nqi

f (x) = uax, nrog a> 0 thiab ≠ 0

Logarithmic muaj nuj nqi

f (x) = logun x , uas muaj qhov zoo tiag thiab 1

Kev ua haujlwm Sine

f (x) = kev ua txhaum x

Lub plawv muaj pa

f (x) = cos x

Polynomial muaj nuj nqi

f (x) = uan Cov. xn + an-1 ib. xn-1+… + A2 Cov. x2 + a1 Cov. x1 + a0 0

unneln-1,…, Nws2el1el0 0 : cov zauv nyuaj
n: tus lej
x: txoj kev sib txawv

 

Cov Kev Loj Hlob

Kev nce qib yog cov lej ua ntu zus nyob rau qhov twg, pib nrog thawj lo lus, tag nrho lwm cov tau los ntawm kev ntxiv lossis sib ntxiv los ntawm tib tus nqi.

Hauv cov kev ua tiav hu ua arithmetic, cov lus txuas ntxiv tom qab tau pom los ntawm kev ntxiv lub sijhawm ua ntej nrog tib tus lej (sib piv).

Hauv qhov kev kawm tau hauv duab, qhov kev ua ntu zus yog tsim los ntawm sib npaug lo lus dhau los ntawm qhov sib piv.

Arithmetic muaj mob

Lub ntsiab lus dav dav

unn = a1 + (n - 1) r

unn: Lub ntsiab lus dav dav
un1: 1st lub sij hawm
n: cov lus
r: BP piv

Tawm ntawm finite PA

Sn: xaus ntawm n cov lus
un1: 1st lub sij hawm
unn: nth sij hawm
n: cov lus

Kev vam meej Geometric

Lub ntsiab lus dav dav

unn = a1 Cov. dab tsin-1

unn: nth sij hawm
un1: 1st lub sij hawm
q: PG piv
n: cov lus

Tawm ntawm finite PG

Sn: xaus ntawm n cov lus
un1: 1st lub sij hawm
q: PG piv
n: cov lus

Txwv tsis pub tshaj qhov tawm ntawm ib txhis ntawm GP

: tus lej txwv thaum tus lej ntawm lub ntsiab lus nyhav infinito
un1: 1st lub sij hawm
q: PG piv
n: cov lus

Saib ntxiv:

Dav hlau geometry

Lub dav hlau geometry yog ib feem ntawm kev ua lej uas kawm txog cov yam ntxwv ntawm cov duab geometric hauv lub dav hlau. Kev kawm txog duab geometry yog hais txog kev thov postulates, axioms thiab theorems.

Tawm ntawm cov ces kaum sab hauv ntawm ib lub duab.

Syo = (n - 2). 180º

Syo: suav ntawm cov ces kaum sab hauv
n: naj npawb ntawm ob sab ntawm lub duab

Dab neeg theorem

AB thiab CD: ntu ntawm txoj kab txiav txim siab los ntawm txiav nrog lub nras ntawm cov kab uas tig mus
A´B´ thiab C´D´: ntu ntawm lwm txoj kab ncaj nraim, hloov mus rau thawj tus, txiav txim siab los ntawm txiav nrog cov pob txuas ntawm cov kab tib

Metric kev sib raug zoo hauv daim duab peb sab xis

b2 = ib n

a: hypotenuse
b: sab
n: qhov kev ntsuas ntawm catheter b dhau qhov hypotenuse

c2 = ib m

a: hypotenuse
c: sab
m: kev npaj ntawm sab c ntawm lub hypotenuse

ah = b. c

a: hypotenuse
b thiab c: cov neeg sau
h: qhov siab piv rau hypotenuse

h2 = kuv. n

h: qhov siab piv rau hypotenuse
m: kev npaj ntawm sab c ntawm lub hypotenuse
n: qhov kev ntsuas ntawm catheter b dhau qhov hypotenuse

un2 = b2 + c2 (Pythagoras theorem)

a: hypotenuse
b thiab c: cov neeg sau

Polygon sau rau hauv qhov ncig.

Ntxig rau sib npaug sab ceg kaum

: ntsuas ntawm ib sab ntawm daim duab peb sab
r: lub vojvoog ncig ntawm ncig

r: lub vojvoog ncig ntawm ncig
un3: apothem ntawm inscribed equilateral daim duab peb sab

Sau npe xwm fab xwm yeem

: ntsuas ntawm ib sab ntawm cov duab puab
r: lub vojvoog ncig ntawm ncig

un4 4: apothem ntawm cov inscribed square
r: lub vojvoog ncig ntawm ncig

Sau tau li niaj zaus hexagon

kev ntsuas nyob rau sab ntawm inscribed hexagon
r: lub vojvoog ncig ntawm ncig

un6 6: kev ntxig ntawm cov inscribed hexagon
r: lub vojvoog ncig ntawm ncig

Circumference ntev

C = 2.πr

C: ncig ntev
r: lub vojvoog ncig ntawm ncig

Lub dav hlau cov duab hauv cheeb tsam

Thaj tsam peb tog

A: thaj tsam ntawm daim duab peb sab
b: ntsuas ntawm lub hauv paus
h: qhov siab ntsuas piv nrog puag

Heron tus qauv rau thaj tsam ntawm daim duab peb sab

p: semiperimeter
a, b thiab c: sab ntawm daim duab peb sab

Vaj huam sib luag cheeb tsam

A: thaj chaw ntawm peb ceg vaj huam sib luag
ntsuas ntawm ib sab ntawm daim duab peb sab sib npaug

Duab plaub cheeb tsam

A = bh

A: thaj chaw plaub
b: ntsuas ntawm lub hauv paus
h: ntsuas qhov siab

Thaj chaw thaj tsam

AW = L2

A: thaj chaw square
L: sab ntsuas

Parallelogram cheeb tsam

A = bh

A: thaj tsam ntawm parallelogram
b: puag
h: qhov siab

Trapezoidal cheeb tsam

A: thaj chaw trapezoidal
B: ntsuas ntawm lub hauv paus loj
b: ntsuas ntawm qhov pib me me
h: ntsuas qhov siab

Rhombus cheeb tsam

A: thaj chaw rhombus
D: kev ntsuas ntawm kab pheeb ces kaum loj tshaj
d: ntsuas tsawg tshaj plaws

Li niaj zaus thaj chaw ntawm hexagon

A: thaj chaw li niaj zaus hexagon
ntsuas tom qab hexagon ntsuas

Ntu thaj chaw

A = π r2

A: thaj tsam ntawm lub voj voog
r: kev ntsuas hluav taws xob

Kev ncig hauv cheeb tsam

A: thaj tsam ntawm cov voj voos
αrad: lub kaum sab xis nyob rau hauv radians
R: xov tooj cua
αdegrees: lub kaum sab xis hauv degrees

Saib ntxiv:

Lub nkoj loj

Trigonometry yog ib feem ntawm kev ua lej uas kawm txog kev sib txheeb ntawm ob tog thiab ces kaum ntawm cov duab peb ceg ntawd.

Nws kuj tseem siv rau hauv lwm qhov chaw hauv kev kawm, xws li physics, geography, astronomy, engineering, thiab lwm yam.

Kev sib ze loj loj

kev txhaum: kev txhaum ntawm kaum B
b: sab tav kaum B
a: hypotenuse

cos: cosine ntawm lub kaum B
c: sab ib sab rau lub kaum B
a: hypotenuse

tg: tangent ntawm kaum B
b: sab tav kaum B
c: sab ib sab rau lub kaum B

koj2 + cos2 = 1

kev ua txhaum α: sine ntawm kaum sab xis α
cos α: cosine ntawm lub kaum ntse ntse α

tg α: tangent ntawm kaum α
kev ua txhaum α: sine ntawm kaum sab xis α
cos α: cosine ntawm lub kaum ntse ntse α

cotg α: cotangent ntawm lub kaum α
tg α: tangent ntawm kaum α
kev ua txhaum α: sine ntawm kaum sab xis α
cos α: cosine ntawm lub kaum ntse ntse α

sec α: secant ntawm lub kaum angle
cos α: cosine ntawm lub kaum ntse ntse α

α cossec: lub ntsej muag plaub ntug α
kev ua txhaum α: sine ntawm kaum sab xis α

tg2 + 1 = sec2 α

tg α: tangent ntawm kaum α
sec α: secant ntawm lub kaum angle

cog cot2 + 1 = Cosec2 α

cotg α: cotangent ntawm lub kaum α
α cossec: lub ntsej muag plaub ntug α

Txoj Cai ntawm Sines

a: sab ntsuas
kev txhaum: kev txhaum ntawm lub kaum sab xis ntxeev sab a
b: sab ntsuas
kev txhaum: kev txhaum ntawm lub kaum sab xis ntxeev b
c: sab ntsuas
kev txhaum: kev txhaum ntawm lub kaum sab xis c

Cosine txoj cai lij choj

un2 = b2 + c2 - 2.bccos

a, b thiab c: sab ntawm daim duab peb sab
cos: cosine ntawm lub kaum sab xis sab a

Kev hloov mus rau ib tog

Sine ntawm tag nrho ntawm ob qho arcs

kev ua txhaum (a + b) = kev txhaum a. cos b + kev txhaum b.cos a

kev txhaum (a + b): sine ntawm ntxiv rau arc a nrog arc b
tsis muaj: sine ntawm arc a
cos b: cosine ntawm arc b
kev ua txhaum b: sine ntawm arc b
cos a: cosine ntawm arc a

Sine ntawm qhov sib txawv ntawm ob lub arches

kev ua txhaum (a - b) = kev txhaum a. cos b - kev txhaum b.cos a

kev ua txhaum (a - b): sine ntawm kev txiav ntawm arc a nrog arc b
tsis muaj: sine ntawm arc a
cos b: cosine ntawm arc b
kev ua txhaum b: sine ntawm arc b
cos a: cosine ntawm arc a

Lub cooj luaj ntawm cov lej ntawm ob lub arcs.

cos (a + b) = cos a. cos b - kev txhaum a

cos (a + b): cosine ntawm tus lej ntawm Arc a rau arc b
cos a: cosine ntawm arc a
cos b: cosine ntawm arc b
tsis muaj: sine ntawm arc a
kev ua txhaum b: sine ntawm arc b

Cosine ntawm qhov sib txawv ntawm ob arcs.

cos (a - b) = cos a. cos b + txhaum a. kev txhaum b

cos (a - b): cosine ntawm qhov sib rho ntawm arc a nrog arc b
cos a: cosine ntawm arc a
cos b: cosine ntawm arc b
tsis muaj: sine ntawm arc a
kev ua txhaum b: sine ntawm arc b

Tangent ntawm tus lej ntawm ob arcs.

tg (a + b): tangent ntawm cov lej ntawm arc a rau arc b (arcs qhov uas cov tangent txhais tau)
tg a: tangent ntawm arc a
tg b: tangent ntawm arc b

Tangent ntawm qhov sib txawv ntawm ob arcs.

tg (a - b): tangent ntawm kev rho tawm ntawm arc a nrog arc b (arcs qhov twg tangent txhais)
tg a: tangent ntawm arc a
tg b: tangent ntawm arc b

Saib ntxiv:

Combinatorial kev txheeb xyuas

Hauv kev txheeb xyuas qhov sib txuas peb kawm txog cov hau kev thiab cov txuj ci uas tso cai daws teeb meem cuam tshuam rau suav.

Cov qauv uas siv hauv cov ntsiab lus no feem ntau siv los daws teeb meem qhov tshwm sim.

Kev tso cai yooj yim

Peb = n!

n!: tseem. (n - 1) (n - 2)… 3) 2) 1

Yooj yim kho

Yooj yim ua ke

Newton's binomial

Tk + 1 ib: Lub ntsiab lus dav dav

Saib kuj Combinatorial tsom ce.

Qhov yuav tshwm sim

Qhov kev tshawb fawb qhov tshwm sim tso cai kom tau txais tus nqi ntawm qhov tshwm sim tuaj yeem tshwm sim hauv kev sim sim (xwm txheej tshwm sim). Hauv lwm lo lus, qhov tshwm sim txheeb xyuas qhov "muaj feem" ntawm kev tau txais cov txiaj ntsig tau zoo.

p (A): qhov tshwm sim ntawm qhov tshwm sim A
n (A): tus naj npawb ntawm cov txiaj ntsig tau
n (Ω): cov lej ntawm cov txiaj ntsig tau ua tiav

Qhov peev xwm ntawm kev koom nrog ob qho xwm txheej.

p (AUB) = p (A) + p (B) - p (A ∩ B)

p (AUB): qhov tshwm sim ntawm A lossis B qhov tshwm sim
p (A): qhov tshwm sim ntawm A
p (B): qhov tshwm sim ntawm qhov tshwm sim B tshwm sim
p (A ∩ B): qhov tshwm sim ntawm A thiab B qhov tshwm sim

Qhov ntxim nyiam ntawm ob qho kev tshwm sim tshwj xeeb.

p (AUB) = p (A) + p (B)

p (AUB): qhov tshwm sim ntawm A lossis B qhov tshwm sim
p (A): qhov tshwm sim ntawm A
p (B): qhov tshwm sim ntawm qhov tshwm sim B tshwm sim

Tej yam xwm txheej muaj xwm txheej

p (A / B): qhov tshwm sim A tau muaj tshwm sim A, tshwm sim B
p (A ∩ B): qhov tshwm sim ntawm A thiab B qhov tshwm sim
p (B): qhov tshwm sim ntawm qhov tshwm sim B tshwm sim

Qhov peev xwm ntawm qhov xwm txheej ywj pheej.

p (A ∩ B) = p (A). p (B)

p (A ∩ B): qhov tshwm sim ntawm A thiab B qhov tshwm sim
p (A): qhov tshwm sim ntawm A
p (B): qhov tshwm sim ntawm qhov tshwm sim B tshwm sim

Txheeb cais

Hauv kev txheeb cais, peb kawm cov khoom sau, sau cia, lub koom haum thiab tsom xam cov ntaub ntawv tshawb fawb.

Siv cov qauv ua lej, nws yog qhov paub tau cov ntaub ntawv ntsig txog cov neeg muab los ntawm cov ntaub ntawv ntawm cov qauv ntawm cov neeg ntawd.

Xam nruab nrab

MUn: nruab nrab xam
: tawm ntawm tag nrho cov qauv coj qhov tseem ceeb
n: tus nqi ntawm cov ntaub ntawv coj ua

variance

V: kev sib txawv
(xyo - MUn): sib txawv ntawm x qhov muaj nqis los ntawm kev xam zauv
n: tus nqi ntawm cov ntaub ntawv coj ua

Qauv sib txawv

SD: qauv sib txawv
V: kev sib txawv

Saib thiab Txheeb cais thiab txheeb cais - Tshawb nrhiav

Nyiaj txiag kev ua lej

Kev kawm qhov sib luag ntawm cov peev hauv lub sijhawm yog kev tsom mus rau kev ua lej nyiaj txiag, siv cov qauv uas tso cai rau peb kom paub tias cov txiaj ntsig ntawm cov nyiaj nws txawv li cas hauv lub sijhawm.

Cov paj tau yooj yim

J = C. i. t

J: kev txaus siab
C: peev
i: tus paj laum
t: lub sijhawm thov

M = C + J

M: kom muaj nuj nqis
C: peev
J: kev txaus siab

Cov lus cog tseg

M = C (1 + kuv)t

M. kom muaj nuj nqis
C: peev
i: tus paj laum
t: lub sijhawm thov

J = M - C

J: kev txaus siab
M: kom muaj nuj nqis
C: peev

spatial geometry

Spatial geometry

Spatial geometry sib raug rau thaj tsam ntawm kev ua lej uas yog lub luag hauj lwm rau kawm cov duab hauv qhov chaw, ntawd yog, cov uas muaj ntau dua ob qhov ntev.

Euler piv

V - A + F = 2

V: cov naj npawb ntawm cov ntsug
A: naj npawb ntawm cov npoo
F: naj npawb ntawm lub ntsej muag

Prism

d: kab pheeb ces kaum ntawm paver
a, b thiab c: ntsuas ntawm qhov ntev ntawm paver

V = B. h

V: prism ntim
B: puag ncig thaj tsam
h: qhov siab ntawm qhov prism

Kev sib tw

V: ntim ntawm cov pyramid
B: puag ncig thaj tsam
h: qhov siab ntawm lub pyramid

Pyramidal pob tw

V: ntim ntawm cov ciav hlau pob tw
h: qhov siab ntawm pob tw pob tw
B: thaj tsam ntawm lub hauv paus loj tshaj plaws
b: thaj chaw ntawm lub hauv paus me me

Lub tog raj kheej

UnL= 2.π.Rh

UnL: thaj tsam tom qab
R: xov tooj cua
h: lub tog raj kheej qhov siab

UnB = 2.πRR2

UnB: puag cheeb tsam
R: xov tooj cua

UnT = 2.πR (h + R)

UnT: thaj tsam tag nrho
R: xov tooj cua
h: qhov siab

V = π RR2.h

V: ntim
R: xov tooj cua

Lub khob hliav

UnL = RR.R. g

UnL: thaj tsam tom qab
R: xov tooj cua
g: generatrix

UnB = πR.R2

UnB: puag cheeb tsam
R: xov tooj cua

UnT = RR.R. (g + R)

UnT : thaj tsam tag nrho
R: xov tooj cua
g: generatrix

V: ntim
UnB: puag cheeb tsam
h: qhov siab

Lub cev pob tw

UnL = π.g (R + r) cov

UnL: thaj tsam tom qab
g: generatrix
R: lub vojvoog loj
r: lub vojvoog me

V: ntim
h: qhov siab
R: lub vojvoog loj
r: lub vojvoog me

Kheej

A = 4. πRR2

A: thaj chaw kheej kheej
R: xov tooj cua

V: ntim ntawm kheej
R: xov tooj cua

Saib ntxiv:

Kev ntsuas khoom siv geometry

Hauv kev ntsuas geometry peb sawv cev rau kab, voj, ellipses, thiab lwm tus hauv Cartesian dav hlau. Yog li, nws tuaj yeem piav qhia txog cov duab geometric uas siv cov kev sib npaug.

d (A, B): deb ntawm kis A thiab B
x1: abscissa ntawm taw tes A
x2: abscissa ntawm taw tes B
y1: abscissa ntawm taw tes A
y2: abscissa ntawm taw tes B

m: Txoj kab nqes ntawm cov kab
x1: abscissa ntawm taw tes A
x2: abscissa ntawm taw tes B
y1: abscissa ntawm taw tes A
y2: abscissa ntawm taw tes B

Kev qhia kom dav rau ib txoj kab ncaj nraim.

taus + los + c = 0

a, b thiab c: constants

Txo qis kab sib npaug

y = mx + b

m: txoj kab nqes
b: linear coefficient

Kab ntu kab zauv

a: tus nqi ntawm txoj kab sib txuas ntawm x-axis
b: tus nqi ntawm txoj kab uas sib tshuam y-axis

Qhov kev ncua deb ntawm kis thiab kab

d: qhov deb ntawm taw tes thiab kab
a, b thiab c: coefficients ntawm kab
x: abscissa taw tes
y: tsa ua kis

Lub kaum sab xis ntawm ob txoj kab

m1: txoj kab nqes ntawm txoj kab 1
m2: txoj kab nqes ntawm txoj kab 2

Kev voj voog

Circumference kab zauv

(x - xc)2 + (thiab - thiabc)2 = R ib2

x thiab y: cov kev taw tes ntawm ib qho taw tes uas zwm rau lub voj voog
xc yyc: Qhov chaw ua haujlwm nruab nrab ntawm lub voj voog nruab nrab
R: xov tooj cua

Kev sib npaug ntawm ib ncig

x2 + thiab2 - 2.xc.x - 2.yc.y + (xc2 + thiabc2 - R2= 0 TZS

x thiab y: cov kev taw tes ntawm ib qho taw tes uas zwm rau lub voj voog
xc yyc: Qhov chaw ua haujlwm nruab nrab ntawm lub voj voog nruab nrab
R: xov tooj cua

Ellipse

(lub axis loj yog cov x axis)

x thiab y: cov kev taw tes ntawm ib qho taw tes uas zwm rau dab noj hnub
a: ntsuas ntawm lub ntsiab semi-axis
b: ntsuas ntawm qhov nruab nrab ib nrab axis

(lub axis loj yog rau y axis)

x thiab y: cov kev taw tes ntawm ib qho taw tes uas zwm rau dab noj hnub
a: ntsuas ntawm lub ntsiab semi-axis
b: ntsuas ntawm qhov nruab nrab ib nrab axis

Ntsuas hyperbole

(qhov tiag axis belongs rau lub x axis)

x thiab y: cov kev taw tes ntawm ib qho taw tes uas zwm rau hauv hyperbola
a: ntsuas ntawm qhov tiag tiag ib nrab-axis
b: ntsuas ntawm qhov kev xav ntawm ib nrab-axis

(qhov tiag axis belongs rau lub y axis)

x thiab y: cov kev taw tes ntawm ib qho taw tes uas zwm rau hauv hyperbola
a: ntsuas ntawm qhov tiag tiag ib nrab-axis
b: ntsuas ntawm qhov kev xav ntawm ib nrab-axis

Lus piv txwv

y2 = 2.px (vertex ntawm keeb kwm thiab tsom rau ntawm lub abscissa axis)

x thiab y: cov kev taw qhia ntawm ib qho taw tes uas zwm rau hauv lub luag haujlwm
p: tsis

x2 = 2.py (vertex ntawm lub hauv paus chiv keeb thiab tsom mus rau lub axis tsa)

x thiab y: cov kev taw qhia ntawm ib qho taw tes uas zwm rau hauv lub luag haujlwm
p: tsis

Cov lej ntau

Cov lej ntau yog cov lej ua los ntawm qhov muaj tiag thiab qhov xav. Qhov xav hauv qhov seem yog sawv cev los ntawm tsab ntawv piv txwv tias tshwm sim ntawm kab zauv i2 = -1.

Algebraic daim ntawv

z = a + bi

z: cov zauv uas tsis yog
a: qhov tiag
bi: xav qhov feem (qhov twg kuv = √ - 1)

Daim duab trigonometric

z: cov zauv uas tsis yog
ρ: complex tooj module ()
: Cav z

(Cov mis Moivre)

z: cov zauv uas tsis yog
: module ntawm cov lej ntau
n: kev nthuav
: Cav z