Le bhith a ’sgrìobhadh polynomial mar iomadachadh polynomials eile, is urrainn dhuinn gu tric an abairt a dhèanamh nas sìmplidhe.

 Factar cumanta san fhianais

Bidh sinn a ’cleachdadh an seòrsa factar seo nuair a tha factar ann a bhios ag ath-aithris anns a h-uile teirm den polynomial.

Thèid am bàillidh seo, anns am faod àireamhan agus litrichean, a bhith air a chuir air beulaibh nam bragan.

Taobh a-staigh nam bragan bidh e mar thoradh air a bhith a ’roinn gach teirm den polynomial leis a’ bhàillidh cumanta.

Ann an cleachdadh, nì sinn na ceumannan a leanas:

1mh) Comharraich a bheil àireamh ann a tha a ’roinn na co-èifeachdan ioma-polynomial agus na litrichean a tha air an ath-aithris anns a h-uile teirm.
2) Cuir na factaran cumanta (àireamh agus litrichean) air beulaibh nam bragan (mar fhianais).
3mh) Cuir ann am bragan an toradh bho bhith a ’roinneadh gach factar den polynomial leis a’ bhàillidh a tha na fhianais. A thaobh litrichean, bidh sinn a ’cleachdadh an aon riaghailt de roinneadh cumhachd.

Eisimpleirean

a) Dè an cruth factar a th ’air an polynomial 12x + 6y - 9z?

An toiseach, tha sinn ag aithneachadh gu bheil an àireamh 3 a ’roinn a h-uile co-èifeachd agus nach eil litir a-rithist ann.

Bidh sinn a ’cur an àireamh 3 air beulaibh nam bragan, bidh sinn a’ roinn a h-uile teirm le trì agus cuiridh sinn an toradh am broinn nam brataichean:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

b) Factor 2a2b + 3a3c - a4 4.

Leis nach eil àireamh ann a tha a ’sgaradh 2, 3 agus 1 aig an aon àm, cha chuir sinn àireamh sam bith air beulaibh nam bragan.

An litir un tha e air ath-aithris anns a h-uile teirm. Bidh am bàillidh cumanta un2, a tha am fear as lugha de un Anns an abairt.

Bidh sinn a ’roinn gach teirm polynomial le un2:

2a2 b: a2 = 2a2 - 2 b = 2b

3ro3c: a2 = 3a3 - 2 c = 3ac

un4 4 : a2 = a2

Chuir sinn an un2 ro na bragan agus toraidhean an sgaraidhean eadar camagan:

2a2b + 3a3c - a4 4 = a2 (2b + 3ac - a2)

Buidheann

Anns an polynomial nach eil feart ath-aithris anns a h-uile teirm, is urrainn dhuinn factar buidhneachaidh a chleachdadh.

Airson sin, feumaidh sinn na teirmean a chomharrachadh a dh'fhaodar a chuir còmhla ann am factaran cumanta.

Anns an t-seòrsa factar seo, bidh sinn a ’soilleireachadh factaran cumanta nam buidhnean.

Eisimpleir

Factor an poxomial mx + 3nx + my + 3ny

Na cumhachan mx y 3nx mar fhactar cumanta x. Na cumhachan mi y 3ny mar fhactar cumanta y.

A ’cur na factaran sin ann am fianais:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Thoir fa-near gu bheil (m + 3n) a-nis ag ath-aithris san dà theirm cuideachd.

A ’cur fianais air ais, lorg sinn cruth factar polynomial:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Trianomial ceàrnagach foirfe

Tha trinomials mar polynomials le 3 teirmean.

Na trinomials ceàrnagach foirfe airson2 + 2ab + b2 agus an2 - 2ab + b2 toradh toradh iongantach de sheòrsa (a + b)2 agus (a - b)2.

Mar sin, bidh am bàillidh den trinomial ceàrnagach foirfe:

un2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (ceàrnag den t-suim de dhà theirm)

un2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (ceàrnag den eadar-dhealachadh de dhà theirm)

Gus faighinn a-mach a bheil trinomial gu dearbh na cheàrnag foirfe, nì sinn na leanas:

1mh) Obraich a-mach freumh ceàrnagach nam briathran a tha a ’nochdadh sa cheàrnag.
2) Iomadaich na luachan a chaidh a lorg le 2.
3) Dèan coimeas eadar an luach a chaidh a lorg agus an teirm aig nach eil ceàrnagan. Ma tha iad mar an ceudna, tha e na cheàrnag foirfe.

Eisimpleirean

a) Factor an polynomial x2 + 6x + 9

An toiseach, feumaidh sinn deuchainn a dhèanamh a bheil am polynomial na cheàrnag foirfe.

√x2 = xy √9 = 3

Ag iomadachadh le 2, lorg sinn: 2. 3) x = 6x

Leis gu bheil an luach a chaidh a lorg co-ionann ris an teirm neo-cheàrnagach, tha am polynomial na cheàrnag foirfe.

Mar sin, bidh am bàillidh:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

b) Factor an polynomial x2 - 8xy + 9y2

Deuchainn trinomial ceàrnagach foirfe:

√x2 = xy √9y2 = 3y

Iomadaich: 2. x. 3y = 6xy

Chan eil an luach a chaidh a lorg a ’freagairt ris an teirm polynomial (8xy ≠ 6xy).

Leis nach e trinomial ceàrnagach foirfe a th ’ann, chan urrainn dhuinn an seòrsa bàillidh seo a chleachdadh.

Eadar-dhealachadh dà cheàrnag

Gus factaran polynomials de sheòrsa a2 - b2 Bidh sinn a ’cleachdadh toradh iongantach an t-suim airson an eadar-dhealachadh.

Mar sin, bidh am factar polynomials den t-seòrsa seo:

un2 - b2 = (a + b). (a - b)

Gus gabhail ris, feumaidh sinn freumh ceàrnagach an dà theirm a ghabhail.

An uairsin sgrìobh toradh suim nan luachan a chaidh a lorg agus eadar-dhealachadh nan luachan sin.

Eisimpleir

Factor an binomial 9x2 - 25.

An toiseach, lorg freumh ceàrnagach nam briathran:

√9x2 = 3x agus √25 = 5

Sgrìobh na luachan sin mar thoradh an t-suim agus an diofar:

9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)

Ciùb foirfe

Na polynomials a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 agus an3 - 3mh2b + 3ab2 - b3 toradh toradh iongantach de sheòrsa (a + b)3 no (a - b)3.

Mar sin, is e an cruth factaichte den ciùb foirfe:

un3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

un3 - 3mh2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Gus a bhith a ’toirt buaidh air polynomials mar sin, feumaidh sinn freumh ciùb de na teirmean ciùbach a ghabhail.

Mar sin, feumaidh tu dearbhadh gu bheil am polynomial na ciùb foirfe.

Ma tha, bidh sinn a ’cur ris no a’ toirt air falbh luachan freumhaichean na ciùb a lorgar sa chiùb.

Eisimpleirean

a) Factor an polynomial x3 + 6x2 + 12x + 8

An toiseach, dèanamaid cunntas air freumh ciùb de na teirmean ann an ciùban:

3√ x3 = xe 3√ 8 = 2

An uairsin dearbhaich gur e ciùb foirfe a th ’ann:

3) x2 . 2 = 6x2

3) x. dhà2 = 12x

Leis gu bheil na teirmean a chaidh an lorg co-ionann ris na teirmean polynomial, tha e na chiùb foirfe.

Mar sin, bidh am bàillidh:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

b) Factor an polynomial a3 - naochad2 + 27a - 27

Feuch an dèan sinn a-mach freumh ciùb de na teirmean ann an ciùban:

3√ a3 = ae 3√ - 27 = - 3

Leis gu bheil na teirmean a chaidh an lorg co-ionann ris na teirmean polynomial, tha e na chiùb foirfe.

Mar sin, bidh am bàillidh:

un3 - naochad2 + 27a - 27 = (a - 3)3

Eacarsaichean fhuasgladh

Factor na polynomials a leanas:

a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 - a2
e) 9a2 + 12a + 4