Fórmulas de matemáticas de secundaria. Las fórmulas matemáticas representan una síntesis del desarrollo del razonamiento y están formadas por números y letras.
Conocerlos es necesario para resolver muchos problemas que se cobran en las competiciones y en Enem, principalmente porque a menudo reduce el tiempo para resolver un problema.
Sin embargo, solo decorar las fórmulas no es suficiente para tener éxito en su aplicación. Conocer el significado de cada cantidad y comprender el contexto en el que debe usarse cada fórmula es fundamental.
En este texto reunimos las principales fórmulas utilizadas en la escuela secundaria, agrupadas por contenido.
Las funciones
Las funciones representan una relación entre dos variables, de modo que un valor asignado a una de ellas corresponderá a un valor único de la otra.
Dos variables pueden asociarse de diferentes maneras y de acuerdo con su regla de formación, reciben diferentes clasificaciones.
Función afina
f (x) = ax + b
a: pendiente
b: coeficiente lineal
Función cuadrática
f (x) = hacha2+ bx + c , donde ≠ 0
a, byc: coeficientes de función de segundo grado
Raíces de la función cuadrática
Vértice de la parábola.
Δ: discriminante de la ecuación de segundo grado ( Δ = b2 – 4.a.c)
a, byc: coeficientes de la ecuación de segundo grado
Función modular
Función exponencial
f (x) = ax, con a> 0 y ≠ 0
Función logarítmica
f (x) = logun x , con real positivo y un 1
Función seno
f (x) = sen x
Función coseno
f (x) = cos x
Función polinómica
f (x) = an . xn + an-1. xn-1+ … + a2 . x2 + a1 . x1 + a0 0
unneln-1, …, el2el1el0 0 : números complejos
n: entero
x: variable compleja
Progresiones
Las progresiones son secuencias numéricas en las que, comenzando con el primer término, todas las demás se obtienen sumando o multiplicando por el mismo valor.
En las progresiones llamadas aritmética, los términos posteriores se encuentran agregando el término anterior con el mismo número (razón).
En progresiones geométricas, la secuencia se forma multiplicando el término anterior por la razón.
Progresión aritmética
Término general
unn = a1 + (n – 1) r
unn: término general
un1: 1er término
n: número de términos
r: relación BP
Suma de un PA finito
Sn: suma de n términos
un1: 1er término
unn: enésimo término
n: número de términos
Progresión Geométrica
Término general
unn = a1 . qn-1
unn: enésimo término
un1: 1er término
q: razón de PG
n: número de términos
Suma de un PG finito
Sn: suma de n términos
un1: 1er término
q: razón de PG
n: número de términos
Límite de la suma de un PG infinito
: límite de suma cuando el número de términos tiende a infinito
un1: 1er término
q: razón de PG
n: número de términos
Vea también:
Geometría plana
La geometría plana es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras geométricas en el plano. El estudio de la geometría implica la aplicación de postulados, axiomas y teoremas.
Suma de los ángulos internos de un polígono.
Syo = (n – 2). 180º
Syo: suma de ángulos internos
n: número de lados del polígono
Teorema de cuentos
AB y CD: segmentos de una línea determinados cortando con un haz de líneas paralelas
A´B´ y C´D´: segmentos de otra línea recta, transversal a la primera, determinada cortando con el mismo haz de líneas paralelas
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
b2 = a. n
a: hipotenusa
b: lado
n: proyección del catéter b sobre la hipotenusa
c2 = a. m
a: hipotenusa
c: lado
m: proyección del lado c en la hipotenusa
a.h = b. c
a: hipotenusa
byc: coleccionistas
h: altura relativa a la hipotenusa
h2 = m. n
h: altura relativa a la hipotenusa
m: proyección del lado c en la hipotenusa
n: proyección del catéter b sobre la hipotenusa
un2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras)
a: hipotenusa
byc: coleccionistas
Polígono inscrito en la circunferencia.
Triángulo equilátero inscrito
: medida en el lado del triángulo inscrito
r: radio de la circunferencia
r: radio de la circunferencia
un3: apotema del triángulo equilátero inscrito
Plaza inscrita
: medida en el lado del cuadrado inscrito
r: radio de la circunferencia
un4 4: apotema del cuadrado inscrito
r: radio de la circunferencia
Hexágono regular inscrito
medir en el lado del hexágono inscrito
r: radio de la circunferencia
un6 6: inserción del hexágono inscrito
r: radio de la circunferencia
Longitud de la circunferencia
C = 2.π.r
C: longitud de circunferencia
r: radio de la circunferencia
Área de figuras planas
Área del triángulo
A: área del triángulo
b: medida de la base
h: medida de altura relativa a la base
Fórmula Heron para el área del triángulo
p: semiperímetro
a, byc: lados del triángulo
Área del triángulo equilátero
A: área del triángulo equilátero
medir en el lado del triángulo equilátero
Área de rectángulo
A = b.h
A: área rectangular
b: medida de la base
h: medición de altura
Área cuadrada
A = L2
A: área cuadrada
L: medida lateral
Área de paralelogramo
A = b.h
A: área de paralelogramo
b: base
h: altura
Área trapezoidal
A: área trapezoidal
B: medida de la base principal
b: medida de la base más pequeña
h: medición de altura
Área del rombo
A: área de rombos
D: medida de la diagonal más grande
d: medida diagonal más pequeña
Área regular del hexágono
A: área de hexágono regular
medición lateral del hexágono
Área del círculo
A = π. r2
A: área del círculo
r: medida del radio
Área del sector circular
A: área del sector circular
αrad: ángulo en radianes
R: radio
αgrados: ángulo en grados
Vea mas:
Trigonometría
La trigonometría es la parte de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.
También se usa en otras áreas de estudio, como física, geografía, astronomía, ingeniería, entre otras.
Relaciones trigonométricas
sen: seno del ángulo B
b: lado opuesto al ángulo B
a: hipotenusa
cos: coseno del ángulo B
c: lado adyacente al ángulo B
a: hipotenusa
tg: tangente del ángulo B
b: lado opuesto al ángulo B
c: lado adyacente al ángulo B
sen2 α + cos2 α = 1
sen α: seno de ángulo α
cos α: coseno del ángulo α
tg α: tangente del ángulo α
sen α: seno de ángulo α
cos α: coseno del ángulo α
cotg α: cotangente del ángulo α
tg α: tangente del ángulo α
sen α: seno de ángulo α
cos α: coseno del ángulo α
sec α: secante del ángulo α
cos α: coseno del ángulo α
α cossec: cosecante angular α
sen α: seno de ángulo α
tg2 α + 1 = seg2 α
tg α: tangente del ángulo α
sec α: secante del ángulo α
cotg2 α + 1 = cosec2 α
cotg α: cotangente del ángulo α
α cossec: cosecante angular α
Ley de los senos
a: medición lateral
sen: seno del ángulo opuesto al lado a
b: medición lateral
sen: seno del ángulo opuesto al lado b
c: medición lateral
sen: seno del ángulo opuesto al lado c
Ley coseno
un2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos
a, byc: lados del triángulo
cos: coseno del ángulo opuesto al lado a
Transformaciones trigonométricas
Seno de la suma de dos arcos
sen (a + b) = sen a. cos b + sen b.cos a
sen (a + b): seno de la adición de arco a con arco b
sin a: seno del arco a
cos b: coseno del arco b
sen b: seno de arco b
cos a: coseno del arco a
Seno de la diferencia de dos arcos
sen (a – b) = sen a. cos b – sen b.cos a
sen (a – b): seno de la resta del arco a con el arco b
sin a: seno del arco a
cos b: coseno del arco b
sen b: seno de arco b
cos a: coseno del arco a
Coseno de la suma de dos arcos.
cos (a + b) = cos a. cos b – sen a.sen b
cos (a + b): coseno de la suma del arco a al arco b
cos a: coseno del arco a
cos b: coseno del arco b
sin a: seno del arco a
sen b: seno de arco b
Coseno de la diferencia de dos arcos.
cos (a – b) = cos a. cos b + sen a.sen b
cos (a – b): coseno de la resta del arco a con el arco b
cos a: coseno del arco a
cos b: coseno del arco b
sin a: seno del arco a
sen b: seno de arco b
Tangente de la suma de dos arcos.
tg (a + b): tangente de la suma del arco a al arco b (arcos donde se define la tangente)
tg a: tangente del arco a
tg b: tangente del arco b
Tangente de la diferencia de dos arcos.
tg (a – b): tangente de la resta del arco a con el arco b (arcos donde se define la tangente)
tg a: tangente del arco a
tg b: tangente del arco b
Vea mas:
Análisis combinatorio
En el análisis combinatorio estudiamos los métodos y técnicas que permiten resolver problemas relacionados con el conteo.
Las fórmulas utilizadas en este contenido a menudo se utilizan para resolver problemas de probabilidad.
Permutación simple
P = n!
n!: n. (n – 1) (n – 2) … 3) 2) 1
Arreglo simple
Combinación simple
El binomio de Newton
Tk + 1: término general
Ver también Ejercicios de análisis combinatorio.
Probabilidad
El estudio de probabilidad permite obtener el valor de posibles ocurrencias en un experimento aleatorio (fenómeno aleatorio). En otras palabras, la probabilidad analiza las “posibilidades” de obtener un determinado resultado.
p (A): probabilidad de ocurrencia del evento A
n (A): número de resultados favorables
n (Ω): número de resultados posibles
Probabilidad de unir dos eventos.
p (A U B) = p (A) + p (B) – p (A ∩ B)
p (A U B): probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B
p (A): probabilidad del evento A
p (B): probabilidad de que ocurra el evento B
p (A ∩ B): probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B
Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes.
p (A U B) = p (A) + p (B)
p (A U B): probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B
p (A): probabilidad del evento A
p (B): probabilidad de que ocurra el evento B
Probabilidad condicional
p (A / B): probabilidad de que el evento A haya ocurrido, evento B
p (A ∩ B): probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B
p (B): probabilidad de que ocurra el evento B
Probabilidad de eventos independientes.
p (A ∩ B) = p (A) .p (B)
p (A ∩ B): probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B
p (A): probabilidad del evento A
p (B): probabilidad de que ocurra el evento B
Estadísticas
En estadística, estudiamos la recolección, registro, organización y análisis de datos de investigación.
Utilizando fórmulas matemáticas, es posible conocer la información relacionada con una población dada a partir de los datos de una muestra de esa población.
Media aritmética
MUn: media aritmética
: suma de todos los valores de muestra
n: cantidad de datos de muestra
Varianza
V: varianza
(xyo – MUn): desviación de los valores de x de la media aritmética
n: cantidad de datos de muestra
Desviacion estandar
SD: desviación estándar
V: varianza
Ver también Estadísticas y estadísticas – Ejercicios
Matemática financiera
Estudiar la equivalencia de capital a lo largo del tiempo es el enfoque de las matemáticas financieras, utilizando fórmulas que nos permiten saber cómo varía el valor del dinero con el tiempo.
Interés simple
J = C. yo. t
J: interés
C: capital
i: tasa de interés
t: tiempo de aplicación
M = C + J
M: cantidad
C: capital
J: interés
Juros compuestos
M = C (1 + i)t
M. cantidad
C: capital
i: tasa de interés
t: tiempo de aplicación
J = M – C
J: interés
M: cantidad
C: capital
Geometría espacial
La geometría espacial corresponde al área de las matemáticas que se encarga de estudiar figuras en el espacio, es decir, aquellas que tienen más de dos dimensiones.
Relación de Euler
V – A + F = 2
V: número de vértices
A: número de aristas
F: número de caras
Prisma
d: diagonal del adoquín
a, byc: medidas de las dimensiones del adoquín
V = B. h
V: volumen del prisma
B: área base
h: altura del prisma
Pirámide
V: volumen de la pirámide
B: área base
h: altura de la pirámide
Tronco piramidal
V: volumen del tronco piramidal
h: altura del tronco piramidal
B: área de la base más grande
b: área de la base más pequeña
Cilindro
UnL= 2.π.R.h
UnL: área lateral
R: radio
h: altura del cilindro
UnB = 2.π.R2
UnB: área base
R: radio
UnT = 2.π.R (h + R)
UnT: área total
R: radio
h: altura
V = π.R2.h
V: volumen
R: radio
Cono
UnL = π.R. g
UnL: área lateral
R: radio
g: generatriz
UnB = π.R2
UnB: área base
R: radio
UnT = π.R. (g + R)
UnT : área total
R: radio
g: generatriz
V: volumen
UnB: área base
h: altura
Tronco de cono
UnL = π.g (R + r)
UnL: área lateral
g: generatriz
R: radio mayor
r: radio más pequeño
V: volumen
h: altura
R: radio mayor
r: radio más pequeño
Esfera
A = 4. π.R2
A: área de esfera
R: radio
V: volumen de esfera
R: radio
Vea mas:
Geometría analítica
En geometría analítica representamos líneas, circunferencias, elipses, entre otros en el plano cartesiano. Por lo tanto, es posible describir estas formas geométricas usando ecuaciones.
d (A, B): distancia entre los puntos A y B
x1: abscisa del punto A
x2: abscisa del punto B
y1: abscisa del punto A
y2: abscisa del punto B
m: pendiente de la línea
x1: abscisa del punto A
x2: abscisa del punto B
y1: abscisa del punto A
y2: abscisa del punto B
Ecuación general de la recta.
hacha + por + c = 0
a, byc: constantes
Ecuación lineal reducida
y = mx + b
m: pendiente
b: coeficiente lineal
Ecuación de segmentación de línea
a: valor en el que la línea se cruza con el eje x
b: valor en el que la línea se cruza con el eje y
Distancia entre un punto y una recta
d: distancia entre el punto y la línea
a, byc: coeficientes de la recta
x: punto de abscisa
y: ordenada del punto
Ángulo entre dos líneas
m1: pendiente de la línea 1
m2: pendiente de la línea 2
Circunferencia
Ecuación de circunferencia
(x – xc)2 + (y – yc)2 = R2
x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a un círculo
xc y yc: coordenadas del centro del círculo
R: radio
Ecuación normal de la circunferencia
x2 + y2 – 2.xc.x – 2.yc.y + (xc2 + yc2 – R2) = 0
x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a un círculo
xc y yc: coordenadas del centro del círculo
R: radio
Elipse
(el eje mayor pertenece al eje x)
x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a una elipse
a: medición del semieje principal
b: medición del medio eje menor
(el eje mayor pertenece al eje y)
x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a una elipse
a: medición del semieje principal
b: medición del medio eje menor
Hipérbole
(el eje real pertenece al eje x)
x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a una hipérbola
a: medida del semieje real
b: medida del semieje imaginario
(el eje real pertenece al eje y)
x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a una hipérbola
a: medida del semieje real
b: medida del semieje imaginario
Parábola
y2 = 2.p.x (vértice en el origen y foco en el eje de abscisas)
x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a la parábola
p: parámetro
x2 = 2.p.y (vértice en el origen y foco en el eje de ordenadas)
x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a la parábola
p: parámetro
Números complejos
Los números complejos son números formados por una parte real e imaginaria. La parte imaginaria está representada por la letra i e indica el resultado de la ecuación i2 = -1.
Forma algebraica
z = a + b.i
z: número complejo
a: parte real
bi: parte imaginaria (donde i = √ – 1)
Forma trigonométrica
z: número complejo
ρ: módulo de número complejo ()
Θ: argumento z
(Fórmula Moivre)
z: número complejo
ρ: módulo de número complejo
n: exponente
Θ: argumento z