Fórmulas de matemáticas de secundaria

Conocerlos es necesario para resolver muchos problemas que se cobran en las competiciones y en Enem, principalmente porque a menudo reduce el tiempo para resolver un problema.

Sin embargo, solo decorar las fórmulas no es suficiente para tener éxito en su aplicación. Conocer el significado de cada cantidad y comprender el contexto en el que debe usarse cada fórmula es fundamental.

En este texto reunimos las principales fórmulas utilizadas en la escuela secundaria, agrupadas por contenido.

Las funciones

Las funciones representan una relación entre dos variables, de modo que un valor asignado a una de ellas corresponderá a un valor único de la otra.

Dos variables pueden asociarse de diferentes maneras y de acuerdo con su regla de formación, reciben diferentes clasificaciones.

Función afina

f (x) = ax + b

a: pendiente
b: coeficiente lineal

Función cuadrática

f (x) = hacha²+ bx + c , donde ≠ 0

a, byc: coeficientes de función de segundo grado

Raíces de la función cuadrática

Vértice de la parábola.

Δ: discriminante de la ecuación de segundo grado ( Δ = b² – 4.a.c)

a, byc: coeficientes de la ecuación de segundo grado

Función modular

Función exponencial

f (x) = a^x, con a> 0 y ≠ 0

Función logarítmica

f (x) = log_un x , con real positivo y un 1

Función seno

f (x) = sen x

Función coseno

f (x) = cos x

Función polinómica

f (x) = a_n . xⁿ + a_n-1. x^n-1+ … + a₂ . x² + a₁ . x¹ + a_{0 0}

un_nel_n-1, …, el₂el₁el_{0 0} : números complejos
n: entero
x: variable compleja

 

Progresiones

Las progresiones son secuencias numéricas en las que, comenzando con el primer término, todas las demás se obtienen sumando o multiplicando por el mismo valor.

En las progresiones llamadas aritmética, los términos posteriores se encuentran agregando el término anterior con el mismo número (razón).

En progresiones geométricas, la secuencia se forma multiplicando el término anterior por la razón.

Progresión aritmética

Término general

un_n = a₁ + (n – 1) r

un_n: término general
un₁: 1er término
n: número de términos
r: relación BP

Suma de un PA finito

S_n: suma de n términos
un₁: 1er término
un_n: enésimo término
n: número de términos

Progresión Geométrica

Término general

un_n = a₁ . q^n-1

un_n: enésimo término
un₁: 1er término
q: razón de PG
n: número de términos

Suma de un PG finito

S_n: suma de n términos
un₁: 1er término
q: razón de PG
n: número de términos

Límite de la suma de un PG infinito

: límite de suma cuando el número de términos tiende a infinito
un₁: 1er término
q: razón de PG
n: número de términos

Vea también:

Geometría plana

La geometría plana es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras geométricas en el plano. El estudio de la geometría implica la aplicación de postulados, axiomas y teoremas.

Suma de los ángulos internos de un polígono.

S_yo = (n – 2). 180º

S_yo: suma de ángulos internos
n: número de lados del polígono

Teorema de cuentos

AB y CD: segmentos de una línea determinados cortando con un haz de líneas paralelas
A´B´ y C´D´: segmentos de otra línea recta, transversal a la primera, determinada cortando con el mismo haz de líneas paralelas

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

b² = a. n

a: hipotenusa
b: lado
n: proyección del catéter b sobre la hipotenusa

c² = a. m

a: hipotenusa
c: lado
m: proyección del lado c en la hipotenusa

a.h = b. c

a: hipotenusa
byc: coleccionistas
h: altura relativa a la hipotenusa

h² = m. n

h: altura relativa a la hipotenusa
m: proyección del lado c en la hipotenusa
n: proyección del catéter b sobre la hipotenusa

un² = b² + c² (Teorema de Pitágoras)

a: hipotenusa
byc: coleccionistas

Polígono inscrito en la circunferencia.

Triángulo equilátero inscrito

: medida en el lado del triángulo inscrito
r: radio de la circunferencia

r: radio de la circunferencia
un₃: apotema del triángulo equilátero inscrito

Plaza inscrita

: medida en el lado del cuadrado inscrito
r: radio de la circunferencia

un_{4 4}: apotema del cuadrado inscrito
r: radio de la circunferencia

Hexágono regular inscrito

medir en el lado del hexágono inscrito
r: radio de la circunferencia

un_{6 6}: inserción del hexágono inscrito
r: radio de la circunferencia

Longitud de la circunferencia

C = 2.π.r

C: longitud de circunferencia
r: radio de la circunferencia

Área de figuras planas

Área del triángulo

A: área del triángulo
b: medida de la base
h: medida de altura relativa a la base

Fórmula Heron para el área del triángulo

p: semiperímetro
a, byc: lados del triángulo

Área del triángulo equilátero

A: área del triángulo equilátero
medir en el lado del triángulo equilátero

Área de rectángulo

A = b.h

A: área rectangular
b: medida de la base
h: medición de altura

Área cuadrada

A = L²

A: área cuadrada
L: medida lateral

Área de paralelogramo

A = b.h

A: área de paralelogramo
b: base
h: altura

Área trapezoidal

A: área trapezoidal
B: medida de la base principal
b: medida de la base más pequeña
h: medición de altura

Área del rombo

A: área de rombos
D: medida de la diagonal más grande
d: medida diagonal más pequeña

Área regular del hexágono

A: área de hexágono regular
medición lateral del hexágono

Área del círculo

A = π. r²

A: área del círculo
r: medida del radio

Área del sector circular

A: área del sector circular
α_rad: ángulo en radianes
R: radio
α_grados: ángulo en grados

Vea mas:

Trigonometría

La trigonometría es la parte de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.

También se usa en otras áreas de estudio, como física, geografía, astronomía, ingeniería, entre otras.

Relaciones trigonométricas

sen: seno del ángulo B
b: lado opuesto al ángulo B
a: hipotenusa

cos: coseno del ángulo B
c: lado adyacente al ángulo B
a: hipotenusa

tg: tangente del ángulo B
b: lado opuesto al ángulo B
c: lado adyacente al ángulo B

sen² α + cos² α = 1

sen α: seno de ángulo α
cos α: coseno del ángulo α

tg α: tangente del ángulo α
sen α: seno de ángulo α
cos α: coseno del ángulo α

cotg α: cotangente del ángulo α
tg α: tangente del ángulo α
sen α: seno de ángulo α
cos α: coseno del ángulo α

sec α: secante del ángulo α
cos α: coseno del ángulo α

α cossec: cosecante angular α
sen α: seno de ángulo α

tg² α + 1 = seg² α

tg α: tangente del ángulo α
sec α: secante del ángulo α

cotg² α + 1 = cosec² α

cotg α: cotangente del ángulo α
α cossec: cosecante angular α

Ley de los senos

a: medición lateral
sen: seno del ángulo opuesto al lado a
b: medición lateral
sen: seno del ángulo opuesto al lado b
c: medición lateral
sen: seno del ángulo opuesto al lado c

Ley coseno

un² = b² + c² – 2.b.c.cos

a, byc: lados del triángulo
cos: coseno del ángulo opuesto al lado a

Transformaciones trigonométricas

Seno de la suma de dos arcos

sen (a + b) = sen a. cos b + sen b.cos a

sen (a + b): seno de la adición de arco a con arco b
sin a: seno del arco a
cos b: coseno del arco b
sen b: seno de arco b
cos a: coseno del arco a

Seno de la diferencia de dos arcos

sen (a – b) = sen a. cos b – sen b.cos a

sen (a – b): seno de la resta del arco a con el arco b
sin a: seno del arco a
cos b: coseno del arco b
sen b: seno de arco b
cos a: coseno del arco a

Coseno de la suma de dos arcos.

cos (a + b) = cos a. cos b – sen a.sen b

cos (a + b): coseno de la suma del arco a al arco b
cos a: coseno del arco a
cos b: coseno del arco b
sin a: seno del arco a
sen b: seno de arco b

Coseno de la diferencia de dos arcos.

cos (a – b) = cos a. cos b + sen a.sen b

cos (a – b): coseno de la resta del arco a con el arco b
cos a: coseno del arco a
cos b: coseno del arco b
sin a: seno del arco a
sen b: seno de arco b

Tangente de la suma de dos arcos.

tg (a + b): tangente de la suma del arco a al arco b (arcos donde se define la tangente)
tg a: tangente del arco a
tg b: tangente del arco b

Tangente de la diferencia de dos arcos.

tg (a – b): tangente de la resta del arco a con el arco b (arcos donde se define la tangente)
tg a: tangente del arco a
tg b: tangente del arco b

Vea mas:

Análisis combinatorio

En el análisis combinatorio estudiamos los métodos y técnicas que permiten resolver problemas relacionados con el conteo.

Las fórmulas utilizadas en este contenido a menudo se utilizan para resolver problemas de probabilidad.

Permutación simple

P = n!

n!: n. (n – 1) (n – 2) … 3) 2) 1

Arreglo simple

Combinación simple

El binomio de Newton

T_{k + 1}: término general

Ver también Ejercicios de análisis combinatorio.

Probabilidad

El estudio de probabilidad permite obtener el valor de posibles ocurrencias en un experimento aleatorio (fenómeno aleatorio). En otras palabras, la probabilidad analiza las «posibilidades» de obtener un determinado resultado.

p (A): probabilidad de ocurrencia del evento A
n (A): número de resultados favorables
n (Ω): número de resultados posibles

Probabilidad de unir dos eventos.

p (A U B) = p (A) + p (B) – p (A ∩ B)

p (A U B): probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B
p (A): probabilidad del evento A
p (B): probabilidad de que ocurra el evento B
p (A ∩ B): probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B

Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes.

p (A U B) = p (A) + p (B)

p (A U B): probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B
p (A): probabilidad del evento A
p (B): probabilidad de que ocurra el evento B

Probabilidad condicional

p (A / B): probabilidad de que el evento A haya ocurrido, evento B
p (A ∩ B): probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B
p (B): probabilidad de que ocurra el evento B

Probabilidad de eventos independientes.

p (A ∩ B) = p (A) .p (B)

p (A ∩ B): probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B
p (A): probabilidad del evento A
p (B): probabilidad de que ocurra el evento B

Estadísticas

En estadística, estudiamos la recolección, registro, organización y análisis de datos de investigación.

Utilizando fórmulas matemáticas, es posible conocer la información relacionada con una población dada a partir de los datos de una muestra de esa población.

Media aritmética

M_Un: media aritmética
: suma de todos los valores de muestra
n: cantidad de datos de muestra

Varianza

V: varianza
(x_yo – M_Un): desviación de los valores de x de la media aritmética
n: cantidad de datos de muestra

Desviacion estandar

SD: desviación estándar
V: varianza

Ver también Estadísticas y estadísticas – Ejercicios

Matemática financiera

Estudiar la equivalencia de capital a lo largo del tiempo es el enfoque de las matemáticas financieras, utilizando fórmulas que nos permiten saber cómo varía el valor del dinero con el tiempo.

Interés simple

J = C. yo. t

J: interés
C: capital
i: tasa de interés
t: tiempo de aplicación

M = C + J

M: cantidad
C: capital
J: interés

Juros compuestos

M = C (1 + i)^t

M. cantidad
C: capital
i: tasa de interés
t: tiempo de aplicación

J = M – C

J: interés
M: cantidad
C: capital

Geometría espacial

La geometría espacial corresponde al área de las matemáticas que se encarga de estudiar figuras en el espacio, es decir, aquellas que tienen más de dos dimensiones.

Relación de Euler

V – A + F = 2

V: número de vértices
A: número de aristas
F: número de caras

Prisma

d: diagonal del adoquín
a, byc: medidas de las dimensiones del adoquín

V = B. h

V: volumen del prisma
B: área base
h: altura del prisma

Pirámide

V: volumen de la pirámide
B: área base
h: altura de la pirámide

Tronco piramidal

V: volumen del tronco piramidal
h: altura del tronco piramidal
B: área de la base más grande
b: área de la base más pequeña

Cilindro

Un_L= 2.π.R.h

Un_L: área lateral
R: radio
h: altura del cilindro

Un_B = 2.π.R²

Un_B: área base
R: radio

Un_T = 2.π.R (h + R)

Un_T: área total
R: radio
h: altura

V = π.R².h

V: volumen
R: radio

Cono

Un_L = π.R. g

Un_L: área lateral
R: radio
g: generatriz

Un_B = π.R²

Un_B: área base
R: radio

Un_T = π.R. (g + R)

Un_T : área total
R: radio
g: generatriz

V: volumen
Un_B: área base
h: altura

Tronco de cono

Un_L = π.g (R + r)

Un_L: área lateral
g: generatriz
R: radio mayor
r: radio más pequeño

V: volumen
h: altura
R: radio mayor
r: radio más pequeño

Esfera

A = 4. π.R²

A: área de esfera
R: radio

V: volumen de esfera
R: radio

Vea mas:

Geometría analítica

En geometría analítica representamos líneas, circunferencias, elipses, entre otros en el plano cartesiano. Por lo tanto, es posible describir estas formas geométricas usando ecuaciones.

d (A, B): distancia entre los puntos A y B
x₁: abscisa del punto A
x₂: abscisa del punto B
y₁: abscisa del punto A
y₂: abscisa del punto B

m: pendiente de la línea
x₁: abscisa del punto A
x₂: abscisa del punto B
y₁: abscisa del punto A
y₂: abscisa del punto B

Ecuación general de la recta.

hacha + por + c = 0

a, byc: constantes

Ecuación lineal reducida

y = mx + b

m: pendiente
b: coeficiente lineal

Ecuación de segmentación de línea

a: valor en el que la línea se cruza con el eje x
b: valor en el que la línea se cruza con el eje y

Distancia entre un punto y una recta

d: distancia entre el punto y la línea
a, byc: coeficientes de la recta
x: punto de abscisa
y: ordenada del punto

Ángulo entre dos líneas

m₁: pendiente de la línea 1
m₂: pendiente de la línea 2

Circunferencia

Ecuación de circunferencia

(x – x_c)² + (y – y_c)² = R²

x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a un círculo
x_c y y_c: coordenadas del centro del círculo
R: radio

Ecuación normal de la circunferencia

x² + y² – 2.x_c.x – 2.y_c.y + (x_c² + y_c² – R²) = 0

x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a un círculo
x_c y y_c: coordenadas del centro del círculo
R: radio

Elipse

(el eje mayor pertenece al eje x)

x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a una elipse
a: medición del semieje principal
b: medición del medio eje menor

(el eje mayor pertenece al eje y)

x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a una elipse
a: medición del semieje principal
b: medición del medio eje menor

Hipérbole

(el eje real pertenece al eje x)

x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a una hipérbola
a: medida del semieje real
b: medida del semieje imaginario

(el eje real pertenece al eje y)

x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a una hipérbola
a: medida del semieje real
b: medida del semieje imaginario

Parábola

y² = 2.p.x (vértice en el origen y foco en el eje de abscisas)

x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a la parábola
p: parámetro

x² = 2.p.y (vértice en el origen y foco en el eje de ordenadas)

x e y: coordenadas de cualquier punto que pertenece a la parábola
p: parámetro

Números complejos

Los números complejos son números formados por una parte real e imaginaria. La parte imaginaria está representada por la letra i e indica el resultado de la ecuación i² = -1.

Forma algebraica

z = a + b.i

z: número complejo
a: parte real
bi: parte imaginaria (donde i = √ – 1)

Forma trigonométrica

z: número complejo
ρ: módulo de número complejo ()
Θ: argumento z

(Fórmula Moivre)

z: número complejo
ρ: módulo de número complejo
n: exponente
Θ: argumento z