Polinomio bat beste polinomio batzuen biderketa gisa idatziz, askotan adierazpena sinplifikatu dezakegu.

 Ebidentziaren faktore arrunta

Faktorizazio mota hau polinomioaren termino guztietan errepikatzen den faktorea dagoenean erabiltzen dugu.

Zenbakiak eta hizkiak izan ditzakeen faktore hori parentesi aurretik jarriko da.

Parentesien barruan polinomioaren termino bakoitza faktore komunaren arabera banatzearen emaitza izango da.

Praktikan, urrats hauek egingo ditugu:

1) Identifika ezazu polinomioaren koefiziente guztiak eta termino guztietan errepikatzen diren letrak banatzen dituen zenbakirik dagoen.
2) Jarri faktore arruntak (zenbakia eta hizkiak) parentesi aurrean (frogetan).
3.) Jarri parentesi artean polinomioaren faktore bakoitza ebidentzia duen faktorearekin zatitzearen emaitza. Letren kasuan, botere banaketaren arau bera erabiltzen dugu.

Adibideak

a) Zein da 12x + 6y - 9z polinomioaren forma faktorizatua?

Lehenik eta behin, zenbakia identifikatzen dugu 3 zatitu koefiziente guztiak eta letra errepikaturik ez dagoela.

Parentesi aurrean 3 zenbakia jartzen dugu, termino guztiak hirutan banatzen ditugu eta emaitza parentesi barruan kokatuko dugu:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

b) 2a faktorea2b + 3a3c - a4 4.

2, 3 eta 1 aldi berean zatitzen dituen zenbakirik ez dagoenez, parentesien aurrean ez dugu zenbakirik jarriko.

Gutuna un termino guztietan errepikatzen da. Faktore komuna hau izango da un2, zein den berretzaile txikiena un Adierazpenean.

Termino polinomial bakoitza zatitzen dugu un2:

2a2 b: a2 = 2a2 - 2 b = 2b

3ro3c: a2 = 3a3 - 2 c = 3ac

un4 4 : The2 = a2

Guk jarri genuen un2 parentesi eta emaitzen aurretik zatiketak parentesi artean:

2a2b + 3a3c - a4 4 = a2 (2b + 3ac - a2)

Taldea

Termino guztietan errepikatzeko faktorerik ez dagoen polinomioan, taldekatze faktorizazioa erabil dezakegu.

Horretarako, faktore arrunten arabera bil daitezkeen terminoak identifikatu behar ditugu.

Factoring mota honetan taldeen faktore komunak nabarmentzen ditugu.

Adibidez

Fakturatu mx + 3nx + my + 3ny polinomioa

Baldintzak mx y 3nx faktore komun gisa du x. Baldintzak mi y 3ny dute faktore komun gisa y.

Faktore horiek frogatuta:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Kontuan izan (m + 3n) orain errepikatzen dela bi terminoetan ere.

Berriro frogetan jarriz, polinomioaren forma faktorizatua aurkitzen dugu:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Trinomio karratu perfektua

Trinomioak 3 termino dituzten polinomioak dira.

Trinomio karratu ezin hobeak2 + 2ab + b2 eta2 - 2ab + b2 (a + b) motako produktu nabarmenaren emaitza2 eta (a - b)2.

Beraz, trinomio karratu perfektuaren faktorizazioa hau izango da:

un2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (bi terminoen baturaren karratua)

un2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (bi terminoen aldearen karratua)

Trinomioa benetan karratu perfektua den jakiteko, honako hau egiten dugu:

1) Kalkulatu laukian agertzen diren terminoen erro karratua.
2) Biderkatu aurkitutako balioak 2rekin.
3) Alderatu aurkitutako balioa laukirik ez duen terminoarekin. Berdinak badira, karratu perfektua da.

Adibideak

a) Fakturatu x polinomioa2 + 6x + 9

Lehenik eta behin, polinomioa karratu perfektua den ala ez egiaztatu behar dugu.

√x2 = xy √9 = 3

2rekin biderkatuz, hau aurkituko dugu: 2. 3) x = 6x

Aurkitutako balioa termino ez-karratuaren berdina denez, polinomioa karratu perfektua da.

Beraz, faktorizazioa hau izango da:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

b) Fakturatu x polinomioa2 - 8xy + 9y2

Trinomio karratu perfektua:

√x2 = xy √9y2 = 3 urte

Biderkatu: 2. x. 3y = 6xy

Aurkitutako balioa ez dator bat termino polinomialarekin (8xy ≠ 6xy).

Trinomio karratu perfektua ez denez, ezin dugu faktorizazio mota hau erabili.

Bi laukiren aldea

A motako polinomioak faktorizatzeko2 - b2 Batuketaren produktu aipagarria erabiltzen dugu aldea lortzeko.

Beraz, mota honetako polinomioen faktorizazioa hau izango da:

un2 - b2 = (a + b). (a - b)

Fakturatzeko, bi terminoen erro karratua hartu behar dugu.

Ondoren, idatzi aurkitutako balioen baturaren eta balio horien aldearen produktua.

Adibidez

Fakturatu 9x binomioa2 - 25.

Lehenik eta behin, aurkitu terminoen erro karratua:

√9x2 = 3x eta √25 = 5

Idatzi balio hauek baturaren eta aldearen produktu gisa:

9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)

Kubo perfektua

Polinomioak a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 eta3 - 3.a2b + 3ab2 - b3 (a + b) motako produktu nabarmenaren emaitza3 edo (a - b)3.

Beraz, kubo perfektuaren forma faktorizatua hau da:

un3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

un3 - 3.a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Polinomio horiek faktorizatzeko, terminoen erro kubikoa kubotan hartu behar dugu.

Beraz, baieztatu behar duzu polinomioa kubo perfektua dela.

Horrela bada, kuboan aurkitzen diren erro kubikoen balioak batu edo kenduko ditugu.

Adibideak

a) Fakturatu x polinomioa3 + 6 aldiz2 + 12x + 8

Lehenik eta behin, kalkulatu dezagun terminoen erro kubikoa kubotan:

3√ x3 = xe 3√ 8 = 2

Ondoren, baieztatu kubo perfektua dela:

3) x2 . 2 = 6x2

3) x. bi2 = 12x

Aurkitutako terminoak termino polinomikoen berdinak direnez, kubo perfektua da.

Beraz, faktorizazioa hau izango da:

x3 + 6 aldiz2 + 12x + 8 = (x + 2)3

b) Fakturatu a polinomioa3 - bederatzigarrena2 + 27a - 27

Kalkula dezagun lehendabizi terminoen erro kubikoa kubotan:

3√ a3 = ae 3√ - 27 = - 3

Aurkitutako terminoak termino polinomikoen berdinak direnez, kubo perfektua da.

Beraz, faktorizazioa hau izango da:

un3 - bederatzigarrena2 + 27a - 27 = (a - 3)3

Ebatzitako ariketak

Fakturatu polinomio hauek:

a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 - a2
e) 9a2 + 12a + 4