Skribante polinomon kiel multiplikon de aliaj polinomoj, ni ofte povas simpligi la esprimon.

 Ofta faktoro en la evidenteco

Ni uzas ĉi tian faktoradon kiam estas faktoro ripetiĝanta en ĉiuj terminoj de la polinomo.

Ĉi tiu faktoro, kiu povas enhavi nombrojn kaj literojn, estos metita antaŭ la krampoj.

Inter la krampoj ĝi estos la rezulto de dividado de ĉiu termino de la polinomo per la komuna faktoro.

Praktike ni faros la jenajn paŝojn:

1-a) Identigu, ĉu estas nombro, kiu dividas ĉiujn koeficientojn de la polinomo kaj la literojn, kiuj estas ripetataj en ĉiuj terminoj.
2) Metu la komunajn faktorojn (nombro kaj literoj) antaŭ la krampojn (en indico).
3a) Metu inter krampoj la rezulton dividi ĉiun faktoron de la polinomo per la faktoro, kiu estas evidenta. Ĉe literoj, ni uzas la saman regulon pri divido de potenco.

Ekzemploj

a) Kio estas la faktorigita formo de la polinomo 12x + 6y - 9z?

Unue ni identigas tiun nombron 3 dividu ĉiujn koeficientojn kaj ke ne ekzistas ripetita litero.

Ni metas la numeron 3 antaŭ la krampojn, ni dividas ĉiujn terminojn per tri kaj ni metos la rezulton ene de la krampoj:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

b) Faktoro 2a2b + 3a3c - a4 4.

Ĉar ne ekzistas nombro, kiu dividas 2, 3 kaj 1 samtempe, ni ne metos iun ajn nombron antaŭ la krampojn.

La letero un ĝi ripetiĝas en ĉiuj terminoj. La komuna faktoro estos un2, kiu estas la plej malgranda eksponento de un En la esprimo.

Ni dividas ĉiun polinoman terminon per un2:

2a2 b: a2 = 2a2 - 2 b = 2b

3ro3c: a2 = 3a3 - 2 c = 3ac

un4 4 : a2 = a2

Ni metas la un2 antaŭ la krampoj kaj la rezultoj de la dividoj inter krampoj:

2a2b + 3a3c - a4 4 = a2 (2b + 3ac - a2)

Grupo

En la polinomo, ke ne ekzistas ripetanta faktoro en ĉiuj terminoj, ni povas uzi grupigan faktorigon.

Por tio, ni devas identigi la terminojn grupeblajn per oftaj faktoroj.

En ĉi tiu speco de faktorigo, ni reliefigas la komunajn faktorojn de la grupoj.

Ekzemplo

Faktu la polinomon mx + 3nx + my + 3ny

La terminoj mx y 3nx havas kiel oftan faktoron x. La terminoj mi y 3ny havas kiel oftan faktoron y.

Metante ĉi tiujn faktorojn en evidentecon:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Notu, ke (m + 3n) nun ripetas ankaŭ en ambaŭ terminoj.

Remetante ĝin en evidentecon, ni trovas la faktorigitan formon de la polinomo:

mx + 3nx + mia + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Perfekta kvadrata trinomo

Trinomoj estas polinomoj kun 3 terminoj.

La perfektaj kvadrataj triunomoj por2 + 2ab + b2 kaj la2 - 2ab + b2 rezulto de rimarkinda produkto de tipo (a + b)2 kaj (a - b)2.

Tial, la faktorigo de la perfekta kvadrata trinomo estos:

un2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (kvadrato de la sumo de du terminoj)

un2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (kvadrato de la diferenco de du terminoj)

Por ekscii, ĉu trinomo estas vere perfekta kvadrato, ni faras la jenon:

1-a) Kalkulu la kvadratan radikon de la terminoj, kiuj aperas en la kvadrato.
2) Multobligu la trovitajn valorojn per 2.
3) Komparu la trovitan valoron kun la termino, kiu ne havas kvadratojn. Se ili samas, ĝi estas perfekta kvadrato.

Ekzemploj

a) Faktu la polinomon x2 + 6x + 9

Unue ni devas testi, ĉu la polinomo estas perfekta kvadrato.

√x2 = xy √9 = 3

Multobligante per 2, ni trovas: 2. 3) x = 6x

Ĉar la trovita valoro egalas al la ne-kvadrata termino, la polinomo estas perfekta kvadrato.

Tial, la faktorigo estos:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

b) Faktu la polinomon x2 - 8xy + 9y2

Perfekta kvadrata trinoma testo:

√x2 = xy √9y2 = 3y

Multobligu: 2. x. 3y = 6xy

La trovita valoro ne kongruas kun la polinoma termino (8xy ≠ 6xy).

Ĉar ĝi ne estas perfekta kvadrata trinomo, ni ne povas uzi ĉi tian faktorigon.

Diferenco de du kvadratoj

Faktorigi polinomojn de tipo a2 - b2 Ni uzas la rimarkindan produkton de la sumo por la diferenco.

Tial, la faktorigo de ĉi tiaj polinomoj estos:

un2 - b2 = (a + b). (a - b)

Fakte, ni devas preni la kvadratan radikon de la du terminoj.

Tiam skribu la produkton de la sumo de la trovitaj valoroj kaj la diferenco de tiuj valoroj.

Ekzemplo

Faktu la binomon 9x2 - NENIU.

Unue trovu la kvadratan radikon de la terminoj:

√9x2 = 3x kaj √25 = 5

Skribu ĉi tiujn valorojn kiel produkton de la sumo kaj la diferenco:

9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)

Perfekta kubo

La polinomoj a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 kaj la3 - 3a2b + 3ab2 - b3 rezulto de rimarkinda produkto de tipo (a + b)3 aŭ (a - b)3.

Tial, la faktorigita formo de la perfekta kubo estas:

un3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

un3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Por kalkuli tiajn polinomojn, ni devas preni la kuban radikon de la terminoj en kuboj.

Do vi devas konfirmi, ke la polinomo estas perfekta kubo.

Se jes, ni aldonas aŭ subtrahas la valorojn de la kubaj radikoj trovitaj en la kubo.

Ekzemploj

a) Faktu la polinomon x3 + 6x2 + 12x + 8

Unue ni kalkulu la kuban radikon de la terminoj en kuboj:

3√ x3 = xe 3√ 8 = 2

Poste konfirmu, ke ĝi estas perfekta kubo:

3) x2 . 2 = 6x2

3) x. du2 = 12x

Ĉar la trovitaj terminoj samas al la polinomaj terminoj, ĝi estas perfekta kubo.

Tial, la faktorigo estos:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

b) Faktu la polinomon a3 - naŭa2 + 27a - 27

Ni unue kalkulu la kuban radikon de la terminoj en kuboj:

3√ a3 = ae 3√ - 27 = - 3

Ĉar la trovitaj terminoj samas al la polinomaj terminoj, ĝi estas perfekta kubo.

Tial, la faktorigo estos:

un3 - naŭa2 + 27a - 27 = (a - 3)3

Solvitaj ekzercoj

Faktu la jenajn polinomojn:

a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 - a2
e) 9a2 + 12a + 4