Kompleksaj nombroj estas nombroj kunmetitaj de reala parto kaj imaga parto.

Ili reprezentas la aron de ĉiuj ordigitaj paroj (x, y), kies elementoj apartenas al la aro de reelaj nombroj (R).

La aro de kompleksaj nombroj estas indikita per C kaj difinita per operacioj:

  • Egaleco: (a, b) = (c, d) ↔ a = c kaj b = d
  • Krome: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
  • Multipliko: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Imaga unuo (i)

Indikita per letero yo, la imaga unuo estas la ordigita paro (0, 1). Logo:

mi. i = –1 ↔ i2 = –1

Tiel, yo estas la kvadrata radiko de –1.

Algebra formo de Z

La algebra formo de Z estas uzata por reprezenti kompleksan nombron per la formulo:

Z = x + y i

Donde:

  • x estas reala nombro indikita per x = Re (Z), kiu estas nomata vera parto de Z.
  • y estas reala nombro indikita per y = Im (Z), kiu nomiĝas imaga parto de Z.

Konjugu kompleksan nombron

La konjugato de kompleksa nombro estas indikita per z, difinita de z = a - bi. Tial la signo de ĝia imaga parto estas interŝanĝita.

Do se z = a + bi, tiam z = a - bi

Kiam ni multiplikas kompleksan nombron per ĝia konjugato, la rezulto estos reala nombro.

Egaleco inter kompleksaj nombroj

Du kompleksaj nombroj estas Z1 = (a, b) kaj Z2 = (c, d), estas egalaj kiam a = c kaj b = d. Tio estas ĉar ili havas identajn realajn kaj imagajn partojn. Do:

a + bi = c + di kiam a = cib = d

kompleksaj nombroj

Kompleksaj nombroperacioj

Kun kompleksaj nombroj eblas plenumi la operaciojn de adicio, subtraho, multipliko kaj divido. Vidu difinojn kaj ekzemplojn sube:

Krome

Z1 +Z2 = (a + c, b + d)

En algebra formo, ni havas:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Ekzemplo:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2-4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Restu

Z1 - Z2 = (a - c, b - d)

En algebra formo, ni havas:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

Ekzemplo:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4 - 2) + i (–5 –1)
2 - 6i

Multipliko

(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

En algebra formo, ni uzas la distribua posedaĵo:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (i2 = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)

Ekzemplo:

(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i2
8 - 14i + 15
23 - 14i

Divido

Z1/Z2 =Z3
Z1 =Z2 . Z3

En la supra egaleco, se Z3 = x + yi, ni havas:

Z1 =Z2 . Z3

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

Per la sistemo de nekonataj x kaj y ni havas:

cx - dy = a
dx + cy = b

Tiam

x = ak + bd / c2 + d2
y = bc - ad / c2 + d2

Ekzemplo:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
–2i + 5i2/ –Mi2
5 - 2i

Por scii pli, vidu ankaŭ

Vestibulaj ekzercoj kun reagoj

1. (UF-TO) Konsideru yo La imaga unuo de kompleksaj nombroj. La valoro de la esprimo (i + 1)8 estas:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

2. (UEL-PR) La kompleksa nombro z, kiu kontrolas la ekvacion iz - 2w (1 + i) = 0 (w indikas ke la konjugato de z) estas:

a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - mi
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) Konsideru la kompleksan nombron z = cos π / 6 + i sin π / 6. La valoro de Z3 +Z6 6 +Z12 estas:

a) - i
b) ½ + √3 / 2i
c) i - 2
donis
e) 2i

Klasĉambra filmeto

Por plivastigi vian komprenon pri kompleksaj nombroj, rigardu la filmeton «Enkonduko al kompleksaj nombroj»

Historio de kompleksaj nombroj.

La malkovro de kompleksaj nombroj estis farita en la 1501-a jarcento danke al la kontribuoj de la matematikisto Girolamo Cardano (1576-XNUMX).

Tamen nur en la 1777a jarcento formaligis ĉi tiujn studojn la matematikisto Carl Friedrich Gauss (1855-XNUMX).

Ĉi tio estis grava progreso en matematiko, ĉar negativa nombro havas kvadratan radikon, kiun eĉ la malkovro de kompleksaj nombroj konsideris neebla.