La inversa matrico aŭ inversigebla matrico estas speco de kvadrata matrico, tio estas, ĝi havas la saman nombron da vicoj (m) kaj kolumnoj (n).

Okazas kiam la produkto de du matricoj rezultigas a identa matrico de la sama ordo (sama nombro da vicoj kaj kolumnoj).

Tial, por trovi la inverson de matrico, multipliko estas uzata.

A. B = B. A = Min (kiam matrico B estas inversa de matrico A)

Sed kio estas la identa matrico?

La identa matrico estas difinita kiam la ĉefaj diagonalaj elementoj estas ĉiuj egalaj al 1 kaj la aliaj elementoj egalas al 0 (nulo). Ĝi estas indikita de In:

Inversaj matricaj ecoj

  • Estas nur unu inverso por ĉiu matrico
  • Ne ĉiuj matricoj havas inversan matricon. Ĝi estas inversigebla nur kiam la produktoj de la kvadrataj matricoj rezultigas identan matricon (In)
  • La inversa matrico de inverso respondas al la matrico mem: A = (A-1)-1
  • La transpona matrico de inversa matrico ankaŭ estas inversa: (At) -1 = (A-1)t
  • La inversa matrico de transpona matrico respondas al la inversa transpozicio: (A-1 Unt) -1
  • La inversa matrico de identa matrico estas la sama kiel la identa matrico: I-1 = Mi

vidu ankaŭ: Aroj

Inversaj matricaj ekzemploj

2 × 2 inversa matrico

3 × 3 inversa matrico

Paŝo post paŝo: kiel kalkuli la inversan matricon?

Ni scias, ke se la produkto de du matricoj egalas al la identa matrico, tiu matrico havas inverson.

Notu, ke se matrico A estas inversa de matrico B, la skribmaniero: A-1.

Ekzemplo: Trovu la inverson de la matrico sub la ordo 3 × 3.

Unue ni devas memori tion. A-1 = I (La matrico multiplikita per sia inversa rezultos en la identa matrico In)

Ĉiu elemento en la unua vico de la unua matrico estas multobligita per ĉiu kolumno de la dua matrico.

Tial, la elementoj de la dua vico de la unua matrico multiplikiĝas per la kolonoj de la dua.

Kaj fine, la tria vico de la unua kun la kolumnoj de la dua:

Per ekvivalenteco de la elementoj kun la identa matrico, ni povas malkovri la valorojn de:

a = 1
b = 0
c = 0

inversaj matricaj ecoj

Sciante ĉi tiujn valorojn, ni povas kalkuli la aliajn nekonatojn en la matrico. En la tria vico kaj la unua kolumno de la unua matrico ni havas + 2d = 0. Do, ni komencu trovante la valoron de d, anstataŭigante la trovitajn valorojn:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

Simile, en la tria vico kaj la dua kolumno ni povas trovi la valoron de y:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Daŭrante, ni havas en la tria vico de la tria kolumno: c + 2f. Notu, ke due la identa matrico de ĉi tiu ekvacio ne egalas al nulo, sed egalas al 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

Irante al la dua vico kaj la unua kolumno, ni trovos la valoron de g:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

En la dua vico kaj la dua kolumno, ni povas trovi la valoron de h:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Fine ni trovu la valoron de yo per la ekvacio de la dua vico kaj la tria kolumno:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

 

Vestibulaj ekzercoj kun reagoj

1. (Cefet-MG) La matrico estas inversa de
Oni povas ĝuste konstati, ke la diferenco (xy) egalas al:

a) -8
b) -2
c) 2
d) 6
f) 8

2. (UF Viçosa-MG) La matricoj estas:

Kie x kaj y estas realaj nombroj kaj M estas la inversa matrico de A. Tial, la produkto xy estas:

a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4

3. (PUC-MG) La inversa matrico de la matrico egalas al:

a)
b)
c)
d)
e)