Deur 'n polinoom te skryf as die vermenigvuldiging van ander polinome, kan ons die uitdrukking dikwels vereenvoudig.

 Algemene faktor in die getuienis

Ons gebruik hierdie tipe faktorisering as daar 'n faktor is wat in alle terme van die polinoom herhaal word.

Hierdie faktor, wat getalle en letters kan bevat, sal voor die hakies geplaas word.

Binne die hakies sal die resultaat wees van die deel van elke term van die polinoom deur die gemeenskaplike faktor.

In die praktyk sal ons die volgende stappe doen:

1) Identifiseer of daar 'n getal is wat al die koëffisiënte van die polinoom en die letters wat in alle terme herhaal word, verdeel.
2) Plaas die algemene faktore (getal en letters) voor die hakies (as bewys).
3de) Plaas tussen hakies die resultaat van die deel van elke faktor van die polinoom deur die faktor wat bewys word. In die geval van letters gebruik ons ​​dieselfde reël van magsverdeling.

voorbeelde

a) Wat is die gefaktoreerde vorm van die polinoom 12x + 6y - 9z?

Eerstens identifiseer ons die getal 3 verdeel alle koëffisiënte en dat daar geen herhaalde letter is nie.

Ons plaas die getal 3 voor die hakies, ons deel al die terme deur drie en ons sal die resultaat binne die hakies plaas:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

b) Faktor 2a2b + 3a3c - a4 4.

Aangesien daar geen getal is wat 2, 3 en 1 gelyktydig verdeel nie, sal ons geen getal voor die hakies plaas nie.

Die brief un dit word in alle terme herhaal. Die algemene faktor sal wees un2, wat die kleinste eksponent van is un In die uitdrukking.

Ons verdeel elke polinome term deur un2:

2a2 BA2 = 2a2 - 2 b = 2b

3ro3c: a2 = 3a3 - 2 c = 3ac

un4 4 : Die2 = a2

Ons sit die un2 voor die hakies en die resultate van die afdelings in hakkies:

2a2b + 3a3c - a4 4 = a2 (2b + 3ac - a2)

Groep

In die polinoom dat daar in alle terme geen herhalende faktor is nie, kan ons groeperingsfaktorisering gebruik.

Daarvoor moet ons die terme identifiseer wat volgens algemene faktore gegroepeer kan word.

In hierdie tipe faktorisering beklemtoon ons die algemene faktore van die groepe.

byvoorbeeld

Faktor die polinoom mx + 3nx + my + 3ny

Die bepalings mx y 3nx het as 'n algemene faktor x. Die bepalings mi y 3ny het as 'n gemeenskaplike faktor y.

Bewys hierdie faktore:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Let daarop dat (m + 3n) ook in beide terme herhaal word.

Om dit weer in bewyse te stel, vind ons die gefaktoreerde vorm van die polinoom:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Perfekte vierkantige driehoek

Trinomials is polinome met 3 terme.

Die perfekte vierkantige driehoeke vir2 + 2ab + b2 en2 - 2ab + b2 resultaat van merkwaardige produk van die tipe (a + b)2 en (a - b)2.

Daarom sal die faktorisering van die perfekte vierkantige driehoek:

un2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (vierkant van die som van twee terme)

un2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (vierkant van die verskil van twee terme)

Om uit te vind of 'n trinomiaal 'n perfekte vierkant is, doen ons die volgende:

1) Bereken die vierkantswortel van die terme wat in die vierkant verskyn.
2) Vermenigvuldig die gevind waardes met 2.
3) Vergelyk die gevonde waarde met die term wat geen vierkante het nie. As dit dieselfde is, is dit 'n perfekte vierkant.

voorbeelde

a) Faktor die polinoom x2 + 6x + 9

Eerstens moet ons toets of die polinoom 'n perfekte vierkant is.

√x2 = xy √9 = 3

Vermenigvuldig ons met 2, vind ons: 2. 3) x = 6x

Aangesien die gevonde waarde gelyk is aan die nie-kwadraatterm, is die polinoom 'n perfekte vierkant.

Die faktorisering sal dus wees:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

b) Faktoreer die polinoom x2 - 8xy + 9y2

Perfekte vierkantige driehoektoets:

√x2 = xy √9y2 = 3j

Vermenigvuldig: 2. x. 3y = 6xy

Die gevonde waarde stem nie ooreen met die polinoomterm nie (8xy ≠ 6xy).

Aangesien dit nie 'n perfekte vierkantige driehoek is nie, kan ons nie hierdie tipe faktorisering gebruik nie.

Verskil van twee vierkante

Om polinome van tipe a te faktoriseer2 - b2 Ons gebruik die merkwaardige produk van die som vir die verskil.

Daarom is die faktorisering van polinome van hierdie tipe:

un2 - b2 = (a + b). (a - b)

As faktor moet ons die vierkantswortel van die twee terme neem.

Skryf dan die produk van die som van die waardes wat gevind is en die verskil tussen die waardes.

byvoorbeeld

Faktoreer die binomiaal 9x2 - 25.

Soek eers die vierkantswortel van die terme:

√9x2 = 3x en √25 = 5

Skryf hierdie waardes as die produk van die som en die verskil:

9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)

Perfekte kubus

Die polinome a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 en3 - 3de2b + 3ab2 - b3 resultaat van merkwaardige produk van die tipe (a + b)3 of (a - b)3.

Die gevormde vorm van die perfekte kubus is dus:

un3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

un3 - 3de2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Om sulke polinome te faktoriseer, moet ons die kubuswortel van die blokvormige terme neem.

U moet dus bevestig dat die polinoom 'n perfekte kubus is.

As dit die geval is, voeg ons die waardes van die kubuswortels in die kubus by of aftrek dit.

voorbeelde

a) Faktor die polinoom x3 + 6x2 + 12x + 8

Laat ons eers die kubuswortel van die terme in kubusse bereken:

3√ x3 = xe 3√ 8 = 2

Bevestig dan dat dit 'n perfekte kubus is:

3) x2 . 2 = 6x2

3) x. twee2 = 12x

Aangesien die terme wat gevind word, dieselfde is as die polinome, is dit 'n perfekte kubus.

Die faktorisering sal dus wees:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

b) Faktor van die polinoom a3 - negentig2 + 27a - 27

Laat ons eers die kubuswortel van die terme in kubusse bereken:

3√ a3 = ae 3√ - 27 = - 3

Aangesien die terme wat gevind word, dieselfde is as die polinome, is dit 'n perfekte kubus.

Die faktorisering sal dus wees:

un3 - negentig2 + 27a - 27 = (a - 3)3

Opgeloste oefeninge

Bereken die volgende polinome:

a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 - a2
e) 9a2 + 12a + 4