Komplekse getalle is getalle saamgestel uit 'n werklike en 'n denkbeeldige deel.

Hulle stel die versameling van alle geordende pare (x, y) voor, waarvan die elemente tot die versameling reële getalle (R) behoort.

Die stel komplekse getalle word aangedui deur C en gedefinieer deur bewerkings:

  • Gelykheid: (a, b) = (c, d) ↔ a = c en b = d
  • Daarbenewens: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
  • Vermenigvuldiging: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Denkbeeldige eenheid (i)

Word per brief aangedui yo, die denkbeeldige eenheid is die geordende paar (0, 1). Logo:

ek. i = –1 ↔ i2 = –1

Dus, yo is die vierkantswortel van –1.

Algebraïese vorm van Z

Die algebraïese vorm van Z word gebruik om die komplekse getal met behulp van die formule voor te stel:

Z = x + y i

Waar:

  • x is 'n reële getal aangedui deur x = Re (Z), wat genoem word regte deel van Z.
  • y is 'n reële getal aangedui deur y = Im (Z), wat genoem word denkbeeldige deel van Z.

Konjugeer 'n komplekse getal

Die vervoeging van 'n komplekse getal word aangedui deur z, gedefinieer deur z = a - bi. Daarom word die teken van sy denkbeeldige deel uitgeruil.

Dus as z = a + bi, dan is z = a - bi

Wanneer ons 'n komplekse getal vermenigvuldig met sy vervoeging, sal die resultaat 'n reële getal wees.

Gelykheid tussen komplekse getalle

Twee komplekse getalle is Z1 = (a, b) en Z2 = (c, d), is gelyk wanneer a = c en b = d. Dit is omdat hulle identiese werklike en denkbeeldige dele het. Dus:

a + bi = c + di wanneer a = cyb = d

komplekse getalle

Komplekse getalbewerkings

Met ingewikkelde getalle is dit moontlik om die bewerkings van optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling uit te voer. Sien definisies en voorbeelde hieronder:

Daarbenewens

Z1 +Z2 = (a + c, b + d)

In algebraïese vorm het ons:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

byvoorbeeld:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2-4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Aftrekking

Z1 - Z2 = (a - c, b - d)

In algebraïese vorm het ons:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

byvoorbeeld:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4 - 2) + i (–5 –1)
2 - 6i

Vermenigvuldiging

(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

In algebraïese vorm gebruik ons ​​die verspreidingseiendom:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (i2 = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)

byvoorbeeld:

(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i2
8 - 14i + 15
23 - 14i

afdeling

Z1/Z2 =Z3
Z1 =Z2 . Z3

In bogenoemde gelykheid, as Z3 = x + yi, ons het:

Z1 =Z2 . Z3

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

Volgens die stelsel van onbekendes x en y het ons:

cx - dy = a
dx + cy = b

Dan

x = ac + bd / c2 + d2
y = bc - advertensie / c2 + d2

byvoorbeeld:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
–2i + 5i2/ –Ek2
5 - 2i

Vir meer inligting, sien ook

Vestibulêre oefeninge met terugvoer

1. (UF-TO) Oorweeg dit yo Die denkbeeldige eenheid van komplekse getalle. Die waarde van die uitdrukking (i + 1)8 is:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

2. (UEL-PR) Die komplekse getal z wat die vergelyking iz verifieer - 2w (1 + i) = 0 (w dui aan dat die vervoeg van z):

a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) Beskou die komplekse getal z = cos π / 6 + i sin π / 6. Die waarde van Z3 +Z6 6 +Z12 is:

a) - i
b) ½ + √3 / 2i
c) i - 2
gegee het
e) 2i

Klaskamervideo

Kyk na die video om u begrip van komplekse getalle uit te brei «Inleiding tot komplekse getalle»

Geskiedenis van komplekse getalle.

Die ontdekking van komplekse getalle is in die 1501de eeu gedoen danksy die bydrae van die wiskundige Girolamo Cardano (1576-XNUMX).

Die studies is egter eers in die 1777de eeu geformaliseer deur die wiskundige Carl Friedrich Gauss (1855-XNUMX).

Dit was 'n belangrike vooruitgang in wiskunde, aangesien 'n negatiewe getal 'n vierkantswortel het, dat selfs die ontdekking van komplekse getalle as onmoontlik beskou word.