Die inverse matriks of omkeerbare matriks is 'n tipe vierkantige matriksdit wil sê, dit het dieselfde aantal rye (m) en kolomme (n).

Dit kom voor wanneer die produk van twee matrikse 'n a het identiteitsmatriks van dieselfde orde (dieselfde aantal rye en kolomme).

Om die inverse van 'n matriks te vind, word vermenigvuldiging gebruik.

A. B = B. A = ekn (wanneer matriks B omgekeerd is van matriks A)

Maar wat is die identiteitsmatriks?

Die identiteitsmatriks word gedefinieer wanneer die hoofdiagonale elemente almal gelyk is aan 1 en die ander elemente gelyk is aan 0 (nul). Dit word deur I aangeduin:

Inverse matrikseienskappe

  • Daar is net een inverse vir elke matriks
  • Nie alle matrikse het 'n omgekeerde matriks nie. Dit is slegs omkeerbaar as die produkte van die vierkantige matrikse 'n identiteitsmatriks tot gevolg het (In)
  • Die inverse matriks van 'n inverse stem ooreen met die matriks self: A = (A-1)-1
  • Die transponeer matriks van 'n inverse matriks is ook inverse: (At) -1 = (A-1)t
  • Die inverse matriks van 'n transponeer matriks stem ooreen met die inverse transponering: (A-1 Unt) -1
  • Die inverse matriks van 'n identiteitsmatriks is dieselfde as die identiteitsmatriks: I-1 = Ek

sien ook: Arrays

Inverse matriks voorbeelde

2 × 2 inverse matriks

3 × 3 inverse matriks

Stap vir stap: hoe bereken u die omgekeerde matriks?

Ons weet dat as die produk van twee matrikse gelyk is aan die identiteitsmatriks, daardie matriks 'n inverse het.

Let daarop dat as matriks A omgekeerd is van matriks B, die notasie: A-1.

byvoorbeeld: Vind die inverse van die matriks onder die volgorde 3 × 3.

In die eerste plek moet ons dit onthou. A-1 = I (Die matriks vermenigvuldig met sy inverse sal die identiteitsmatriks I tot gevolg hên)

Elke element in die eerste ry van die eerste matriks word vermenigvuldig met elke kolom van die tweede matriks.

Daarom word die elemente van die tweede ry van die eerste matriks vermenigvuldig met die kolomme van die tweede matriks.

En laastens, die derde ry van die eerste met die kolomme van die tweede:

Deur ekwivalensie van die elemente met die identiteitsmatriks, kan ons die waardes ontdek van:

a = 1
b = 0
c = 0

inverse matrikseienskappe

As ons hierdie waardes ken, kan ons die ander onbekendes in die matriks bereken. In die derde ry en die eerste kolom van die eerste matriks het ons 'n + 2d = 0. Laat ons dus begin om die waarde van d, deur die gevindde waardes te vervang:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

Net so kan ons in die derde ry en die tweede kolom die waarde van vind y:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

As ons verder gaan, het ons in die derde ry van die derde kolom: c + 2f. Let daarop dat tweedens die identiteitsmatriks van hierdie vergelyking nie gelyk is aan nul nie, maar gelyk aan 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

As ons na die tweede ry en die eerste kolom gaan, vind ons die waarde van g:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

In die tweede ry en die tweede kolom kan ons die waarde van vind h:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Laat ons uiteindelik die waarde van yo deur die vergelyking van die tweede ry en die derde kolom:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
ek = 3/2

 

Vestibulêre oefeninge met terugvoer

1. (Cefet-MG) Die matriks is omgekeerd van
Daar kan korrek gestel word dat die verskil (xy) gelyk is aan:

a) -8
b) -2
c) 2
d) 6
f) 8

2. (UF Viçosa-MG) Die matrikse is:

Waar x en y reële getalle is en M die omgekeerde matriks van A. Daarom is die produk xy:

a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4

3. (PUC-MG) Die omgekeerde matriks van die matriks is gelyk aan:

a)
b)
c)
d)
e)